Асимптотические методы. Глушко А.В - 14 стр.

                                                          14
из (10) коэффициент x1 :
                                                                          x 2 +2 x0
                   (3x02 −8x0 +5) x1 =x02 +2 x0 ;                  x1 = 2 0
                                                                       3 x0 −8 x0 +5
                                                                                     ;

при           x0 =2 :   x1 =8, следовательно,                              x =2 +8ε +O (ε 2 ) ;               при
x0 =1 :       x1 =∞, следовательно выбранное разложение неверно.
      Напомним, что для двукратного корня мы искали разложение по
               1
степеням ε , попробуем тот же подход: подставим в исходное уравнение
               2

                                                      1                       3           1                   3
представление                    x =x0 +ε x1 ++ε x2 +O (ε ) =1 +ε x1 +ε x2 +O(ε ) .
                                                      2                       2           2                   2


Получим
                                          3                                                       2
      �        1                  3
                                      �
                                      �         1             3
                                                                 �
      � 1 +ε x1 +ε x2 +O(ε ) � −(4 +ε� ) 1 +ε x1 +ε x2 +O (ε ) �                                      +
               2                  2             2             2

       �                      �         �                          �
                     �    1               3
                                            �
           +(5 −2ε )� 1 +ε x1 +ε x2 +O (ε 2� ) −2 +O(ε 2 ) =0
                          2

                       �                      �
или
          1                                       1                                   3                   1
  1 +3ε x1 +3ε x2 +3ε x −4 −8ε x1 −8ε x2 −4ε x −ε −2ε x1 +5 +5ε x1 +
          2                  2
                             1
                                                  2                       2
                                                                          1
                                                                                      2                   2

                                              3
                                                               �   � 32
                   +5ε x2 −2ε −2ε x1 −27 +0 � ε �
                                              2
                                                                          =0 .
                                             � �
При ε1 :
3 x2 +3 x12 −8 x1−4 x12 −1 +5 x2 −2 =0; 8 x2 −8 x2 −x12 −3 =0; x12 =−3 ; x1 =±i 3 .
                                                                                                      3
Не будем искать x2 . (Для этого надо выписывать все члены ε ). Имеем                                  2

               1
x =1 ±i 3ε +0 (ε ) .
               2


     Пример 7. Уравнение ε x3 +x +2 +ε =0 при ε → +0 .
     Очевидно, это задача о сингулярном возмущении. При ε =0
уравнение принимает вид x +2 =0 . Исходя из этого положим, что один из
корней    исходного   уравнения     можно     представить    в    виде
x =−2 +x1ε +O (ε 2 ) . Подстановка этого разложения в исходное уравнение

дает ε (−2 +x1ε +...) −2 +ε x1 +... +2 +ε =0 или ε x1 +(−2 ) +1 =0 или
                         3
                                                                                  (           3
                                                                                                      )
x1 =7 , т.е. x =−2 +7ε +0 (ε 2 ) .