Асимптотические методы. Глушко А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
при
0
ε
→
и поэтому старший член разложения следует искать в виде
()
y
xo
ν
ν
ε
ε
−
=+ с положительным
ν
, определяемым в процессе
дальнейшего решения . Подставим это разложение в исходное уравнение:
122
yy
νν
εε
−−
+++=
. (6)
Далее выделим в (6) члены , играющие определяющую роль. Для
восстановления структуры второго корня мы должны сохранить первый
член
12
ν
ε
−
(иначе будет только один
y
, следовательно, один корень). Так
как
0
ν
>
, то
1
y
ν
ε
−
!
, следовательно, главная часть (6) будет
122
0
yy
νν
εε
−−
+=
. При этом степени
ε
в обоих слагаемых должны быть
одинаковы , т.е.
12
νν
−=−
, т.е.
1
ν
=
. Затем :
2
0
0:
1
y
yy
y
=
+=
=−
.
Значение
0
y
=
соответствует первому корню , значение
1
y
=−
соответствует второму корню . Первое приближение второго корня
1
(1)
xO
ε
=−+ . Для определения следующих членов в разложении для
второго корня, положим
0
1
()
xxO
ε
ε
=−++
. Подставим это разложение в
исходное уравнение
2
00
11
()()10,
xOxOεεε
εε

−++−+++=


или
(
)
00
2100
xx
ε
−+++=
.
Следовательно,
0
1
x
=
. Следовательно,
1
1()
xO
ε
ε
=−++ .
С другой стороны , как только величина
ν
определена, можно
преобразовать исходное уравнение заменой
y
x
ε
=
к виду
2
0
yyε
++=
,
которое не является вырождающимся .
Кубические уравнения
Пример 5. Рассмотрим уравнение
(
)
(
)
322
611260,0
xxxεεεε
−+++−+=→
. 
                                         12
при ε → 0 и поэтому старший член разложения следует искать в виде
    y
x = ν +o(ε −ν ) с положительным       ν , определяемым в процессе
   ε
дальнейшего решения. Подставим это разложение в исходное уравнение:
                              ε1−2ν y 2 +ε −ν y +1 +... =0 .                          (6)
      Далее выделим в (6) члены, играющие определяющую роль. Для
восстановления структуры второго корня мы должны сохранить первый
член ε1−2ν (иначе будет только один y , следовательно, один корень). Так
как ν >0 ,   то     ε −ν y �1 ,   следовательно,       главная     часть    (6) будет
ε1−2ν y 2 +ε −ν y =0 . При этом степени ε в обоих слагаемых должны быть
                                                                                � y =0
одинаковы, т.е.      1 −2ν =−ν , т.е. ν =1 . Затем:              y 2 + y =0 : �          .
                                                                                 � y =−1
Значение     y =0      соответствует первому корню, значение                      y =−1
соответствует второму корню. Первое приближение второго корня
     1
x =− +O(1) . Для определения следующих членов в разложении для
     ε
                           1
второго корня, положим x =− +x0 +O(ε ) . Подставим это разложение в
                           ε
                                              2
                        �
                        1         �                1
исходное уравнение ε � − +x0 +O(ε� )              − +x0 +O(ε ) +1 =0, или
                      � ε           �              ε
                             −2 x0 +x0 +1 +0 (ε ) =0 .
                                               1
     Следовательно, x0 =1 . Следовательно, x =− +1 +O (ε ) .
                                               ε
     С другой стороны, как только величина ν определена, можно
                                            y
преобразовать исходное уравнение заменой x = к виду y 2 + y +ε =0 ,
                                            ε
которое не является вырождающимся.

                             Кубические уравнения

     Пример 5. Рассмотрим уравнение
             x 3 −(6 +ε ) x 2 +(11 +2ε ) x −6 +ε 2 =0 ,        ε→ 0 .

Страницы