Асимптотические методы. Глушко А.В - 10 стр.

                                                                                            10
                  Изучим вначале асимптотику корня, который при ε =0 принимает
значение z0 =1 . Этот однократный корень по известной теореме из теории
функций     комплексного   переменного     является    бесконечно
дифференцируемой функцией коэффициентов исходного уравнения и, как
следствие, бесконечно дифференцируемой функцией параметра ε .
Поэтому следует разыскивать его разложение в ряд по целым
                                                                                                     ∞
неотрицательным степеням ε : z =1 +∑ ck ε k . Подставим это разложение в
                                                                                                     k =1

                                                                                                                                    ∞       2       ∞
                                                                                                                        �           � k�                �
исходное                                     уравнение,                            получим:                             � 1 +∑ ck ε� �          ∑ c�� ε             =ε ;
                                                                                                                                                                k
                                                                                                                                                            k
                                                                                                                         �   k =1    ��         k =1


         (1 +c ε +c ε +O(ε ) ) (c +c ε +O(ε ) ) =1;2                   3   2                                    2
                                     1         2                                    1            2


(1 +2c ε +0 (ε ))(c +c ε +O(ε ) ) =1; c +(2c +c )ε +0 (ε ) =1;
                      1
                                      2
                                               1       2
                                                                               2
                                                                                                            1       1       2
                                                                                                                                            2



�        c=  1;     � c= 1;
    �
          1
                  �
                       1
                               z =1 +ε −2ε 2 +0 (ε 3 ) .
    � 2c1 +c2 =0. � c2 =−2.
           В случае двукратного корня надо рассматривать разложение по
                                      1                    1                                3
степеням                            ε2 :        z =c1ε 2 +c2ε +c3ε 2 +0 (ε 2 ) . После подстановки этого
представления в исходное уравнение имеем
                            �          1           3
                                                           2��
                                                                     1           3
                                                                                               �
                                � 1c ε 2
                                         +c2ε +c3ε 2
                                                     +0 ( �� ) 1
                                                         ε       c ε 2
                                                                       +c2ε +c3ε 2
                                                                                   +0 (ε 2 ) −1� =ε ;
                                 �                            ��                                 �
                                                                           2
                  �                    ��1                         3                                   1
                                                                                                                  �             3

                  � c1 +c2ε +c3ε +O(ε � )�
                                         2                         2
                                                                                   −1 +c1ε +c2ε +c3ε +O (ε 2 ) � =1 ;
                                                                                                       2                        2

                   �                   ��                                                                       �
           �                             1                                              3
                                                                                            ��                      1
                                                                                                                                   �    3

               � c +2c1c2ε +ε (c +2c1c3 ) +O (ε ) ��                                                   −1 +c1ε +c2ε +c3ε +O (ε 2 ) � =1;
                 2                       2         2                                    2                           2                   2
                 1                                 2
                �                                    ��                                                                              �
                                                               1                                                                                3
                          −c12 +(−2c1c2 +c13 )ε 2 +ε (−c22 −2c1c3 +2c12 c2 +c13 c2 ) +O (ε 2 ) =1.
Отсюда
                                                      1
                                                                           ( )
        −c12 =1 ; c1 =±i ;  2 ic2 −1 ⋅ ± i =0 , c2 =− ; − c22 −2c1c3 +3c12 c2 =0 ;
                                                      2
                1          3               7          7          7i
              −  2 ic3 − =0 ;  2 ic3 = ;  ic3 = ; c3 =± .
                4          2               4          8          8