Асимптотические методы. Глушко А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Отметим, что асимптотическое представление функции
(
)
f
ε
не
единственно, т.к. существует бесконечное число асимптотических
последовательностей. Однако при задании последовательности функций
(
)
{}
n
δε
асимптотическое представление функции
(
)
f
ε
с ее помощью
оказывается уже единственным, т.к. единственным образом определяется
n
a
. Положим
(
)
(
)
(
)
(
)
001122
faaa
εδεδεδε
+++
!
(
)
(
)
()
(
)
()
1
010
0
001
...;lim
()
ff
aaa
ε
εδεε
δεδεδε
→
++=−
!
0
a
- определяется единственным образом .
Далее
(
)
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
()
00200
11
0
111
...;lim
fafa
aa
ε
εδεδεεδε
δεδεδε
→
−−
++=
! .
Продолжая этот процесс, получим общую формулу
1
0
0
()()
lim
()
n
mm
m
n
n
fa
a
ε
εδε
δε
−
=
→
−
=
∑
.
Алгебраические уравнения
Пример 1. Рассмотрим уравнение
()
fz
ε
=
(4)
при малых
ε
. Пусть уравнение (1) при
0
ε
=
имеет решение
0
z
:
(
)
(
)
/
000
0,,0
fzzfz
=≠∞≠
.
Поставим задачу : найти решение уравнения (4). Зададим функцию
(
)
(
)
(
)
//
00
,(),,0
zz
FzfzFzfzεεε
=−=≠
. Поэтому
/
()0
z
Fz
≠
при
0
zz
δ
−<
. По теореме об обратной функции существует непрерывная
функция
0
(),0zz
εεε
=<<
и
(
)
(
)
(
)
(
)
,,0
Fzfzεεεεε
=−=
. При
дополнительных условиях гладкости (например, если
())
fzC
∞
∈
функция
()
z
ε
регулярна (бесконечно дифференцируема) и разлагается в ряд
Тейлора
()
0
1
n
n
n
zzc
εε
∞
=
=+
∑
, сходящийся при
ερ
<
, где
ρ
- достаточно
мало. 
                                                    8

        Отметим, что асимптотическое представление функции                                       f (ε ) не
единственно, т.к. существует бесконечное число асимптотических
последовательностей. Однако при задании последовательности функций
{δn (ε )} асимптотическое представление функции f (ε ) с ее помощью
оказывается уже единственным, т.к. единственным образом определяется
an . Положим
                           f (ε ) �a0δ 0 (ε ) +a1δ1 (ε ) +a2δ2 (ε ) +...
                       f (ε )         δ (ε )               f (ε )
                               �a0 +a1 1      +... ; lim          =a0 −
                       δ0 (ε )        δ0 (ε )        ε → 0 δ (ε )
                                                            1

a0 - определяется единственным образом.
        Далее
             f (ε ) −a0δ0 (ε )      δ (ε )                             f (ε ) −a0δ0 (ε )
                               �a1 + 2      +... ;              lim                      =a1 .
                  δ1 (ε )           δ1 (ε )                     ε→ 0        δ1 (ε )
        Продолжая этот процесс, получим общую формулу
                                                         n −1
                                                f (ε ) −∑ amδm (ε )
                                     an =lim             m =0
                                                                          .
                                         ε→ 0           δn (ε )
                                     Алгебраические уравнения

        Пример 1. Рассмотрим уравнение
                                                    f ( z ) =ε                                         (4)
при малых          ε . Пусть уравнение (1) при                         ε =0 имеет решение             z0 :
f ( z0 ) =0 , z0 ≠∞ , f / ( z0 ) ≠0 .
        Поставим задачу: найти решение уравнения (4). Зададим функцию
F ( z , ε ) = f ( z ) −ε , Fz/ ( z0 , ε ) = f z/ ( z0 ) ≠0 .      Поэтому            Fz/ ( z ) ≠0     при
z −z0 <δ . По теореме об обратной функции существует непрерывная
функция         z =z (ε ), 0 <ε <ε0             и    F ( z (ε ), ε ) = f ( z (ε ), ε ) −ε =0 .       При
дополнительных условиях гладкости (например, если f ( z ) ∈C ∞ ) функция
z (ε ) регулярна (бесконечно дифференцируема) и разлагается в ряд
                              ∞
Тейлора z (ε ) =z0 +∑ cnε n , сходящийся при ε <ρ , где ρ - достаточно
                              n =1

мало.

Страницы