Асимптотические методы. Глушко А.В - 5 стр.

                                                                  5
ε → 0 » и записывают это sin ε =O(ε ), ε → 0 .
      Вообще, мы полагаем                          f (ε ) =O ( g (ε )) , ε → 0 ,                             если существует
                                    f (ε )
такое число A , что lim                    =A ,                   0 < A <∞. (Обычно в виде g (ε) =ε n )
                             ε→ 0   g (ε )
Таким образом, при ε → 0 : cos ε =O(1) ; cos (ε −1) =O (ε 2 ) , tg ε =O(ε) и
т.д. Заметим, что при этом численное значение A не учитывается.
      Во многих случаях имеющаяся информация о заданной функции
оказывается недостаточной для определения скорости, с которой эта
функция стремится к пределу, однако с ее помощью можно установить,
будет ли эта скорость больше или меньше скорости изменения
соответствующей калибровочной функции. При этом мы используем
символ порядка о («о       малое»), определяемый следующим образом:
                                                                                                      f (ε )
f (ε ) =o ( g (ε ))      при             ε→ 0                         если                     lim           =0 . Так, при
                                                                                               ε→ 0   g (ε )
                                          �       � 12                                                        �    �1
                                                              ; cos ε =o (ε               );
                                                                                                                   −
                                                                                     −1
ε → 0 : sin ε =o(1) ; sin ε =o � ε �                                                            cos ε =o � ε �      3
                                                                                                                        .
                                � �                                                                       � �
       Асимптотические ряды.                                  Рассмотрим теперь вопрос об оценке
                         ∞
                        ωe−x
интеграла      f (ω) =∫      dx при больших ω >0 .
                      0
                        ω +x

                                                             ( −1) x n
                                                                                                                            n
            ω           ω        1       x x 2 x3        ∞
Разложим         в ряд       =       =1 − + 2 − 3 +... =∑              ,
          ω +x         ω +x 1 + x        ω ω ω          n =0    ωn
                                   ω
который сходится при       x <ω . Подставляя это представление в
подынтегральное выражение, имеем
                                         (−1)                                        (−1)
                                ∞ ∞                 n                                          n ∞
                                                          xn                   ∞
                      f (ω) = ∫∑                               e dx =∑
                                                                −x
                                                                                                ∫x e
                                                                                                      n −x
                                                                                                             dx,
                                0 n =0
                                              ω     n
                                                                              n =0    ω   n
                                                                                                 0

                                              ∞

                                              ∫e
                                                         −x
но поскольку для целых n :                                    x n dx =n! , то
                                              0


                                                                            (−1)
                                                                                n
                                                                      ∞
                                                                                     n!
                                                  f (ω) =∑                                 .                                    (1)
                                                                     n =0     ωn
      Применим признак Даламбера для исследования сходимости ряда