Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 3 стр.

                                         -3-
                                Предварительные определения
       Определение. Поверхность S принадлежит классу C P , p ≥1 , если в
некоторой         окрестности      каждой      точки    x0 ∈S     она     представляется
уравнением ωx0 ( x) =0 , причем ∆ωx0 ( x) ≠0 и функция ωx0 ( x) непрерывна
вместе со всеми производными до порядка p включительно в упомянутой
окрестности.
     Определение. Поверхность S называется кусочно-гладкой, если она
состоит из конечного числа поверхностей класса C1 .
      Определение. Множество называется открытым, если все его точки
– внутренние.
      Определение. Множество называется связным, если две любые его
точки можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом
множестве.
      Определение. Связное открытое множество называется областью.
Будем рассматривать лишь области с кусочно-гладкой границей. Если не
оговаривается обратное, будем считать границу компактной.
      Определение.    Компактом называется замкнутое ограниченное
множество.
      Определение. Точка x0 называется предельной точкой множества
A,    если        существует      последовательность         xk , k =1, 2 ,   таких    что
xk ∈A, xk → x0 , k → ∞.

                       Дифференциальные уравнения в частных
                   производных второго порядка эллиптического типа

       § 1. Определение эллиптического уравнения. Основные понятия

     Эллиптическое уравнение.                       Рассмотрим       дифференциальное
уравнение второго порядка вида
              n
                                      ∂ 2u        �                   ∂u       ∂u�
         ∑        aij ( x1 ,....xn )
                                     ∂xi ∂x j
                                              + f � x1 ,..., xn , u ,
                                                                      ∂x1
                                                                          ,..., � =0 .
                                                                               ∂x�n
                                                                                       (1.1)
         i , j =1                                   �
     Это уравнение линейно относительно производных второго порядка.
Главную роль в определении типа уравнения играют коэффициенты aij
при старших производных. Будем считать, что аргументы этих функций
имеют     вид       x =( x1 ,..., xn ) ∈D ⊂ �n .   Коэффициенты,        не    ограничивая
общности, считаем симметричными: aij =a ji . Все функции и независимые