Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 4 стр.

                               -4-
переменные мы считаем вещественными.
         Определение. Зафиксируем определенную точку x o =( x1o ,..., xno )                                    в
области D и составим квадратичную форму
                                                 n

                                             ∑ a ( x ,..., x )t t
                                             i , j =1
                                                            ij
                                                                 0
                                                                 1
                                                                         0
                                                                         n   i j   .                       (1.2)

         Уравнение (1.1) принадлежит эллиптическому типу в точке
x 0 =( x10 ,..., xn0 ) ,   если         в        этой                точке     квадратичная        форма   (1.2)
знакоопределена.
     Предположим, что коэффициенты aij - постоянные величины, тогда
уравнение (1.1) имеет вид
                             n
                                         ∂ 2u      n
                                                      ∂u
                           ∑
                           i , j =1
                                    aij         +∑ bi
                                        ∂xi ∂x j i =1 ∂xi
                                                          +cu = f ( x1 ,..., xn ) ,                        (1.3)

т.е. является линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
       В этом случае свойство знакоопределенности квадратичной формы
(1.2) сохраняется вне зависимости от выбора точки x 0 ∈D . Предположим,
что квадратичная форма (1.2) знакоопределена, т.е. уравнение (1.3)
эллиптическое. При помощи линейного преобразования
                                                        n
                                        ξk =∑ cki xi , k =1,2,..., n .                                     (1.4)
                                                     i =1

введем новые независимые переменные                                           (ξ1,...,ξn ) .   Предположим, что
преобразование (1.4) неособое, т.е. det cki ≠0 . Производные по старым
переменным выразятся через производные по новым переменным
следующим образом:
                                  ∂u   n
                                            ∂u    ∂ 2u     n
                                                                     ∂ 2u
                                     =∑ cki    ;         =∑ cki clj         .                              (1.5)
                                  ∂xi k =1 ∂ξk   ∂xi ∂x j k =1      ∂ξk ∂ξl
     Подставим представления                                         (1.5) в уравнение (1.3), после чего
получим новое уравнение
                            n
                                      ∂ 2u    n
                                                  ∂u
                           ∑ a kl
                           k ,l
                                            +∑ bi
                                     ∂ξk ∂ξl i=1 ∂ξi
                                                     +cu = f1 (ξ1 ,..., ξn ) ,                             (1.6)

где
                  n                          n
        a kl =∑ aij cki clj ; bi =∑ bk cik ; f1 (ξ1 ,...,ξn ) = f ( x1 (ξ ),..., xn (ξ )) .                (1.7)
                i , j =1                    k =1

     Для того чтобы понять, как преобразуются коэффициенты при
старших производных, заметим, что при преобразовании квадратичной