Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 5 стр.

                                                         -5-
                   n                                                                                          n
формы         ∑ aijtit j с помощью линейного преобразования
              i , j =1
                                                                                                         ti =∑ ckiτk ,
                                                                                                             k =1

                                                 n
приводящего              ее   к       виду    ∑a
                                              k ,l =1
                                                           ττ ,
                                                         k ,l k l   происходит                   та     же    замена

коэффициентов. В алгебре доказывается (с помощью конструктивного
метода выделения полных квадратов), что всегда можно подобрать
                                                                                    n
коэффициенты cik так, чтобы квадратичная форма                                    ∑a tt
                                                                                  i , j =1
                                                                                             ij i j   приводилась к

                                                n
сумме квадратов, т.е. к виду                  ∑λτ
                                              i , j =1
                                                           2
                                                         k k   , причем          λk =±1 или 0. Согласно

закону инерции, число положительных и отрицательных коэффициентов
λk инвариантно относительно выбора линейного преобразования ckj . То
же самое линейное преобразование можно использовать для
преобразования аргументов x1 ,..., xn в уравнении (1.3) в аргументы ξ1 ,..., ξn
и, следовательно, для получения уравнения (1.6), которое                                                с помощью
замены координат можно представить в виде
                                  n
                                       ∂ 2u n     ∂u
                              ∑ λk
                              k =1
                                            +∑ bi
                                       ∂ξk i =1 ∂ξi
                                          2
                                                     +cu = f1 (ξ1 ,..., ξn ) .                                      (1.8)

     Этот вид уравнения (1.3) называется каноническим. В силу
знакоопределенности для эллиптического уравнения (1.3) квадратичной
          n                                                                n
формы   ∑ aijtit j , а следовательно, и формы
        i , j =1
                                                                      ∑λτ k =1
                                                                                    2
                                                                                  k k    , очевидно, что для

эллиптического уравнения все λk равны единице: λk =1 , k =1,..., n . Таким
образом, сохраняя прежние обозначения, мы можем утверждать, что
всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными
коэффициентами может быть приведено к виду
                                          n
                                              ∂ 2u
                                         ∑
                                         k =1 ∂xn
                                                 2
                                                   +c1u = f 2 ( x1 ,..., xn ) .

      В случае, когда уравнение (1.1) имеет переменные коэффициенты,
для каждой точки ( x10 ,..., xn0 ) ∈D можно указать неособое преобразование
независимых переменных, которое приводит уравнение (1.1) к
каноническому виду. В случае двух независимых переменных возможно
при весьма слабых условиях, налагаемых на коэффициенты при старших