Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 7 стр.

                                                                                   -7-
                                                            1                                                                               3
                                                           −                                                                               −
             ∂ �          3
                                                    �2      2             � � 1�                 3
                                                                                                                                       �    2
                        ∑(p               − p0 m )�                                           ∑(p               − p0 m ) �                      ⋅ 2 ( pk − p0 k ) =
                                                                                                                                   2
                                                                        =� −� �
            ∂pk ��
                                     m                                                                      m
                         m =1                     �                      � � 2�                 m =1                     �
                                                                                           pk − p0 k
                                                            =−                                                           3
                                                                                                                               ;
                                                              �                    3
                                                                                                          �2             2

                                                                �
                                                                  �
                                                                               ∑(p
                                                                               m =1
                                                                                            m    − p0 m )�
                                                                                                          �
                                                                         1
                                                                        −
                ∂2 �                                       �2                     ∂
                                 3                                                                3                                                               3
                                                                         2                                      2 −

                ∂pk2 ��
                                ∑
                                m =1
                                     ( pm − p0 k )�
                                                   �
                                                                               =− [( pk − p0 k )(∑ ( pm − p0 m ) ) 2 ] =
                                                                                 ∂pk             m =1
                                                           3                                                                                              1
                    �    3
                                                     �2    2         3                 2 �
                                                                                                                         3
                                                                                                                                                     �2   2

               �        ∑(p          m   − p0 m )�                  − ⋅ 2 ( pk − p0 k ) �                           ∑(p            m       − p0 m )�
            =−�                                   �                                        �                                                        �
                        m =1                                         2                                                  m =1
                                                                                                                3
                                                                                                                                                              .
                                                                �        3
                                                                                                       �2
                                                                �
                                                                �
                                                                        ∑(p
                                                                        m =1
                                                                                       m   − p0 m )�
                                                                                                    �
      Отсюда
                                                                                       3                            3              3                      3
                                                          −
                                                           1
                                                                      3∑ ( pm −p0 m )2 −3∑ ( pk −p0 k )2
       3
            ∂2 �         3
                                                   �2      2
      ∑       2 �
      k =1 ∂pk �
                        ∑(p
                        m =1
                                     m   −p0 m )�
                                                 �
                                                                    =− m =1
                                                                              �     3
                                                                                           k =1

                                                                                                 �2
                                                                                                    3
                                                                                                         =0 .
                                                                                � ∑ ( pm −p0 m )�
                                                                                 � m =1          �
     Лемма доказана.
                   1
     Функция u = называется фундаментальным решением уравнения
                   r
Лапласа (10) в � .
                 3


     Замечание.      Пусть       в    уравнении       (1.9)    n =2 .
               1               1
Функция u =ln =ln                        является решением уравнения
               r     ( x −x ) +( x −x )
                             2         2
                                                1         01                           2      02

(1.9) при   ( x1 , x2 ) ≠( x01 , x02 ) . Действительно,
   ∂    1   ∂                                                                      1                                                       2 ( x p −x0 p )
      ln =− ln r =−                                                                                             ⋅                                                             ;
  ∂x p r   ∂x p                                     ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 )
                                                                               2                            2
                                                                                                                    2        ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 )
                                                                                                                                                 2                        2



                       ( x p −x0 p )             ( x1−x01 ) +( x2 −x02 ) −2 ( x p −x0 p )
                                                                                                                                                                                  2
           ∂ �                               �             2            2
∂2 1
     ln =− �                              � =−
∂x 2p r   ∂x p � ( x1−x01 )2 +( x2 −x02 )� 2           ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 )
                                                                  2               2
                �                          �
                                               ;
                      2 ( x1 −x01 ) +2 ( x2 −x02 ) −2 ( x1 −x01 ) −2 ( x2 −x02 )
                                                                    2                                  2                                    2                         2
� ∂2      ∂ 2�   1
 �       + � 2 ln =−2                                                            =0 .
   � ∂x1 ∂x2�                          ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 )
       2                                          2            2
                 r