Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 8 стр.

                                                        -8-
                                                  1
       Поэтому функцию u =ln                        называют фундаментальным решением
                                                  r
уравнения Лапласа при n =2 .
     Задание для самостоятельной работы.                                       Доказать, что функция
                            n +2
                           −
    � n              �2
r =� ∑ ( x p −x0 p )�
                              2
                        при                      ( x1,..., xn ) ≠( x01 ,..., x0n )   является решением
     � n =1          �
уравнения (9) при всех n ≥3 .

                                             § 2. Формулы Грина

     Формула Гаусса-Остроградского (без доказательства). Пусть
D ⊂ �3 −область без выходов на бесконечность, причем её граница ∂D -
кусочно-гладкая поверхность. Пусть функции P ( x); Q( x); R( x), x ∈D
имеют в D непрерывные и ограниченные производные первого порядка.
Тогда справедлива следующая формула
         � ∂P ∂Q ∂R�
       ∫�� ∂x
            +   + � dx =∫∫( P cos (nx1 ) +Q cos (nx2 ) +R cos (nx3 ))dS , (2.1)
     D    1  ∂x2 ∂x� 3    ∂D

где n - внешняя нормаль к поверхности ∂D .
      Вывод формул Грина.        Пусть      функции u, v принадлежат
пространствам                          ( )
                            u ∈C1 D , v ∈C 1 D ,           ( )       u , v ∈C 2 ( D )      и    вторые
                                                                                                       ∂v
производные функций                    u     и      v     ограничены. Положим                  P =u        ,
                                                                                                       ∂x1
       ∂v         ∂v
Q =u       , R =u     .            С       помощью            формулы           Гаусса-Остроградского
       ∂x2        ∂x3
запишем
                   � ∂u ∂ v           ∂2 v     ∂ 2 v ∂u ∂ v           ∂ 2 v ∂u ∂ v �
                ∫
                D�
                    �
                      ∂x1
                          ⋅
                            ∂ x1
                                 +  u
                                      ∂x 2
                                         1
                                           + u
                                               ∂ x 2
                                                   2
                                                     +
                                                       ∂x 2
                                                            ⋅
                                                              ∂x2
                                                                  +u
                                                                      ∂ x 3
                                                                            +
                                                                              ∂x3
                                                                                     ⋅
                                                                                       ∂x3 �
                                                                                             � dx3 =

                             � ∂v                ∂v               ∂v               �
                      = ∫u �        cos (nx1 ) +     cos ( nx2 ) + cos (nx3 ) � dS ,
                        ∂D �
                                ∂x1              ∂x2              ∂x3            �
откуда
         � ∂u ∂ v ∂u ∂ v ∂u ∂ v �             ∂v
       ∫�� ∂x
       D
              ⋅
             1 ∂x1
                   +    ⋅   +    ⋅   � dx = ∫u dS −∫u ∆ v dx .
                     ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 �     ∂D
                                              ∂n   D
                                                                                                   (2.2)

       Формула (2.2) называется первой формулой Грина.
       Меняя местами u и v в (2.2), можем записать