Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 10 стр.

                                                    - 10 -
                                      �
                                      1�
                            � 1 ∂u  ∂   �
                   lim ∫� ⋅ −u r� dS =−4π u ( x0 ) .            (2.6)
                   ρ→ −
                       σρ �
                               r ∂n ∂ n   �
                             �              �
      Так как на поверхности шара σ ρ справедливо равенство r =ρ то,
принимая во внимание, что нормаль n направлена прямо противоположно
                                               1       1
                                             ∂       ∂       1
направлению радиуса шара, будем иметь          r =− r      = 2 , и,
                                             ∂n       ∂r     ρ
                                                                           σρ               r =ρ

следовательно, по теореме о среднем
                1
              ∂
             u r dS = 2 ∫udS = 2 u ( xсред. ) ⋅ 4πρ2 → 4π u ( x0 ) ,
                      1         1
          ∫
          σρ
              ∂n     ρ σρ       ρ
                                                                                                            (2.7)

при ρ → 0       (x
                 сред.   ∈Bρ ( x0 ) ) .
                                 ∂u
      Производные                    , k =1,2,3        функции        u         ограничены в                 D.
                                 ∂xk
                                                                 ∂u
Следовательно, существует K >0 , такое, что