Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 9 стр.

                                      -9-
             � ∂u ∂ v ∂u ∂ v ∂u ∂ v �               ∂u
           D
             ∫�� ∂x
                  ⋅
                 1 ∂x1
                       +    ⋅   +   ⋅
                         ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 �
                                           � dx = ∫v dS −∫v ∆udx .
                                                 ∂D
                                                    ∂n   D

    Вычтем из последней формулы равенство (2.2). Получим вторую
формулу Грина.
                                      �          ∂v   ∂u�
                  ∫(u∆ v−v ∆u )dx = ∫ ��
                  D                  S =∂D
                                             u
                                                 ∂n
                                                    −v � dS .
                                                      ∂n�
                                                                            (2.3)

     Замечание. В случае, когда область D ограничена несколькими
замкнутыми поверхностями (например, область D - кольцо), следует
внимательно выбирать направление внешней нормали.
                                                     ( )
     Лемма 2. Если функция u ( x1 , x2 , x3 ) ∈C 1 D  C 2 ( D ) , то имеет место
формула
                              �                � 1� �
                                �            ∂� � �
                                      1 ∂u                 1 ∆u
                                           −u � � � dS − ∫ dx ,
                          1                       r
               u ( x0 ) = ∫�                                       (2.4)
                         4π ∂D � r ∂n           ∂n �      4π D r
                                  �                   �
                                    �                   �
     где r =| x −x0 |, n − внешняя нормаль в точке x ∈∂D , x0 ∈D .
     Доказательство.      Будемвначале предполагать, что функция

      ( )                           1
u ∈C 2 D . Рассмотрим функцию v = . Поскольку v → ∞ при r → 0 , мы
                                    r
не можем применить формулу Грина по всей области D . Вырежем из
области D шар Bρ ( x0 ) с центром в точке x0 и радиусом ρ настолько
малым, что Bρ ( x0 ) ⊂ D . Обозначим через Dρ оставшуюся часть D :
Dρ =D \ Bρ ( x0 ) , а через σ ρ - поверхность шара ( σ ρ =S ρ ( x0 ) ). В области
Dρ к функциям u и v можно применить вторую формулу Грина. Так как
                     1
по лемме 1 функция     гармоническая в Dρ , имеем
                     r
                          �            1�            �          1�
              ∆u              � 1 ∂u ∂�       �          1 ∂u ∂ �
            ∫  r
                 dx = ∫� ⋅ −u r � dS + ∫� ⋅ −u r� dS .
                     ∂D �
                                r ∂n ∂n                  r ∂n ∂n
                                                                      (2.5)
           ∂D                             �     σρ �              �
                            �               �          �            �
     Устремим радиус ρ шара Bρ ( x0 ) к нулю. Тогда слева в (2.5)
получим интеграл по всей области D . Интеграл ∂D от ρ не зависит.
Покажем, что