Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 11 стр.

                                              - 11 -
направлена вдоль nx , x ∈S .
       Доказательство. Sδ - есть внутренняя огибающая семейства сфер

             ( x −x ) +( x
                       / 2
                                   −x2/ ) +... +( xn −xn/ ) =δ 2 , x ∈S .
                                        2                   2
               1       1       2                                                               (2.9)
     Действительно, пусть некоторый кусок U поверхности S задается
уравнением xn =z ( x1 ,..., xn−1 ) (согласно лемме Гейне-Бореля, поверхность
S можно разбить на конечное количество кусков, в каждом из которых она
задается в указанном виде). Дифференцируем (2.9) по x1 ,..., xn −1 : имеем
                                                    ∂z
                             xk/ =xk +( xn −xn/ )       ,       k =1,..., n −1;
                                                    ∂xk
                             xn/ =xn +( xn −xn/ ) ⋅ (−1).
                                                                        �  ∂z       ∂z       �
Вектор             nx              параллелен          вектору          � − ,..., −      , +� 1 ,
                                                                         � ∂x1     ∂xn −1 �
следовательно xk/ =xk −δ ⋅ nx ,              k =1,..., n . Таким образом, мы вывели
уравнение поверхности Sδ . Остается отметить, что нормаль к сфере
направлена по радиусу ( см. рис.1)
     Определение. Пусть граница S области G есть поверхность класса
C1 и функция             U ∈C 1 (G ) . Будем говорить, что функция U имеет
                                                       ∂u
правильную нормальную производную                         на S , если равномерно по всем
                                                       ∂n
                                                                                  ∂u ( x / )
x ∈S     существует предел нормальной производной                                              при
                                                                                    ∂nx
x / → x , x / ∈−nx .     Из     этого       определения         следует,     что       правильная
нормальная производная непрерывна на S , если она существует
(доказательство от противного).
      Введем обозначение для правильной нормальной производной
 ∂u ∂u ( x)
    =       .
 ∂n   ∂nx
       Лемма 3. Пусть граница S области G - поверхность класса C 2 и
функция u из класса C1 (G ) имеет правильную нормальную производную
∂u
∂n
                                            ( )
   на S . Тогда для любой f ∈C G справедливо равенство