Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 13 стр.

                                  - 13 -
D без выходов на бесконечность с границей ∂D . Пусть                ( )
                                                              u ∈C 2 D .
Положим в первой формуле Грина (2.2) u =v , примем во внимание
гармоничность функции u и получим равенство
                        ∂u     � � ∂u� 2� � ∂u 2 � ∂u� 2 �
                     ∫
                    ∂D
                       u dS =∫� � � � + �
                        ∂n    D��  � ∂x� 1 � � ∂x2
                                                   +� � � dx .
                                                    � ∂x� 3 ��
Так как интеграл в правой части последнего равенства неотрицателен, то
                                       ∂u
                                   ∫
                                  ∂D
                                     u dS ≥0 .
                                       ∂n
                                                                    (3.1)

        Применяя вторую формулу Грина (2.3) к гармоническим функциям
u ( x) и v( x) ≡1 , получим
                                       ∂u
                                  ∫∂n dS =0 ,
                                  ∂D
                                                                    (3.2)

т.е. интеграл от нормальной производной гармонической функции по
границе области равен нулю. Применим формулу (2.4) из леммы 2 к
гармонической функции u ( x) . В силу равенства ∆u =0 получим
                            �           1�
                                      ∂
                          1 � 1 ∂u         �
               u ( x0 ) = ∫� ⋅ −u r� dS , x0 ∈D ,                (3.3)
                         2π ∂D � r ∂n ∂n�
                                �        �
т.е. значение гармонической функции в любой точке внутри области D
выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на
границе ∂D области с помощью формулы (3.3).
       Замечание. Интегралы в формулах (3.1) - (3.3) не содержат
производных второго порядка от функции u ( x) и для применимости этих
формул достаточно предположить, что гармоническая функция
непрерывна вместе со своими производными первого порядка вплоть до
границы ∂D . Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить область D на
область Dε   (D
              ε      )
                  ⊂ D , написать формулы (3.1)-(3.3) для области   Dε , в
которой имеется непрерывность производных второго порядка, а затем
перейти к пределу при Dε → D . Возможность выбора области такой, что
Dε при ε → 0 вытекает из возможности построения поверхности Sε =∂Dε ,
параллельной ∂D , что показано ранее.
     Утверждение 2. Функция u ( x ) , гармоническая в области D имеет
производные всех порядков внутри этой области.