Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 15 стр.

                                                    - 15 -
                                                           � 1�
                                                         ∂� �
                                 ∂�       1�
                                                        = � �
                                                              r            1
направлением радиуса:                 �      �                           =− 2          и   формула (3.4)
                                 ∂n �      r�    r =R
                                                            ∂r             R
                                                                  r =R

                                     1             ∂u       1
                       u ( x0 ) =
                                    4π R SR ∫                                ∫ udS ,
принимает вид                                         dS +                                 откуда, в силу
                                            ( x0 ) ∂n     4π R 2          S R ( x0 )

(3.2), имеем равенство (3.5). Теорема доказана.
       Теорема 2 (о максимуме и минимуме). Пусть функция u ( x) является
гармонической в области D без выходов на бесконечность и непрерывна в
D . Тогда функция u ( x) достигает своего наибольшего и наименьшего
значений на границе области, за исключением того случая, когда эта
функция есть постоянная.
     Доказательство. Предположим, что функция u ( x) достигает своего
наибольшего значения в точке x0 ∈D . Так как                                     x0 - внутренняя точка
области D , то существует сфера S ρ ( x0 ) с центром в x0 и радиусом ρ ,
такая, что S ρ ( x0 ) ∈D . Применим теорему о среднем к функции u ( x) в
области Bρ ( x0 ) и оценим правую часть полученного представления
сверху:
                                1             1
                 u ( x0 ) =       2 ∫
                                            4πρ 2 S∫
                                      udS ≤          u ρ,max dS =u ρ,max ,
                              4πρ S ρ              ρ


здесь u ρ,max =max u , т.е. u ( x0 ) ≤max u ( x ) . Знак равенства в последней
              x∈S ρ                                     x∈S ρ

оценке достигается, лишь когда функция u ( x) на S ρ постоянна. Поскольку
u ( x0 ) по предположению, наибольшее значение функции u ( x) в области
D, а      u ρ,max =max u , можно утверждать, что u ( x0 ) ≥max u ( x )                                 и,
                      x∈S ρ                                                                 x∈S ρ

следовательно, имеет место равенство u ( x0 ) =max u ( x ) , следовательно,
                                                                            x∈S ρ

функция u ( x) равна постоянной внутри и на поверхности любой сферы с
центром x0 , целиком лежащей в D . Покажем, что из этого факта следует,
что функция u ( x) равна постоянной во всей области D .
      Пусть x1 - любая точка области D . Покажем, что u ( x1 ) =u ( x0 ) .
Соединим     x0 и         x1 кусочно-гладкой линией l конечной длины (Это
возможно в силу определения области). Пусть d - расстояние от l до ∂D .
В силу сказанного выше функция u ( x) равна постоянной в шаре с центром