Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 17 -
в определении функции, гармонической в
e
D
, непрерывной в
e
D
и
удовлетворяющей условию (4.1). Напомним, что гармоничность функции
()
ux
в области
e
D
с выходами на бесконечность , подразумевает кроме
удовлетворения функции
()
ux
уравнению Лапласа еще и равномерное
стремление функции
()
ux
к нулю при
x
Внутренняя задача Неймана (вторая внутренняя краевая задача).
Найти функцию
()
ux
, гармоническую в области
i
D
, такую , чтобы
на границе
SD
=∂
существовала ее правильная производная
xS
u
n
∈
∂
∂
, и
которая удовлетворяет условию
2
()
xS
u
fx
n
∈
∂
=
∂
. (4.2)
Аналогично формулируется внешняя задача Неймана (вторая
внешняя краевая задача), заключающаяся в поиске гармонической в
e
D
функции
()
ux
, у которой существует правильная нормальная производная
u
n
∂
∂
на
S
и для которой выполнено условие (4.2).
Третья внутренняя краевая задача.
Найти функцию
()
ux
, гармоническую в области,
D
такую , чтобы на
границе
SD
=∂
существовала ее правильная производная
xS
u
n
∈
∂
∂
, и
которая удовлетворяет условию
3
()()
xS
u
axufx
n
∈
∂
+=
∂
, (4.3)
где
()0
ax
>
- заданная непрерывная на
S
функция.
Аналогично формулируется третья внешняя краевая задача в области
e
D
.
§ 5. Поведение гармонической функции на бесконечности
Пусть точка
x
лежит вне шара
(0)
R
B . Совершим преобразование
инверсии
22
**
22
*
;
RR
xxxx
x
x
==
. (5.1)
Точки
x
и
*
x
называются симметричными относительно сферы
R
S
. 
                                          - 17 -
в определении функции, гармонической в De , непрерывной в D e и
удовлетворяющей условию (4.1). Напомним, что гармоничность функции
u ( x) в области De с выходами на бесконечность, подразумевает кроме
удовлетворения функции u( x) уравнению Лапласа еще и равномерное
стремление функции u ( x) к нулю при x → ∞
       Внутренняя задача Неймана (вторая внутренняя краевая задача).
       Найти функцию u ( x) , гармоническую в области Di , такую, чтобы
                                                                    ∂u
на границе S =∂D      существовала ее правильная производная                   , и
                                                                    ∂n   x∈S

которая удовлетворяет условию
                                     ∂u
                                            = f 2 ( x) .                   (4.2)
                                     ∂n x∈S
     Аналогично формулируется внешняя задача Неймана (вторая
внешняя краевая задача), заключающаяся в поиске гармонической в De
функции u ( x) , у которой существует правильная нормальная производная
∂u
   на S и для которой выполнено условие (4.2).
∂n
     Третья внутренняя краевая задача.
     Найти функцию u ( x) , гармоническую в области, D такую, чтобы на
                                                                    ∂u
границе S =∂D       существовала ее правильная производная                     , и
                                                                    ∂n   x∈S

которая удовлетворяет условию
                       ∂u
                          +a ( x)u = f3 ( x) ,                             (4.3)
                       ∂n         x∈S

        где a( x) >0 - заданная непрерывная на S функция.
       Аналогично формулируется третья внешняя краевая задача в области
De .

         § 5. Поведение гармонической функции на бесконечности

       Пусть точка x лежит вне шара BR (0) . Совершим преобразование
инверсии
                             R2                    R2
                       x =
                        *
                                 2
                                     x;      x=              x* .          (5.1)
                                                       * 2
                             x                     x
       Точки x и x* называются симметричными относительно сферы S R .

Страницы