Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 18 стр.

                              - 18 -
Симметричные точки удовлетворяют соотношению
                                      x ⋅ x* =R 2                                      (5.2)
и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует
внешность шара        BR (0)    на               B R (0) \ {0}. Пусть функция         u ( x) -

                                                                              R �� R 2 �� *
гармоническая      вне   шара        BR (0) .     Функция      u * ( x* ) =      u      x
                                                                              x * � x* �
                                                                                      2

                                                                                   �     �
называется преобразованием Кельвина функции u ( x) .
      Наряду с декартовыми координатами x1 , x2 , x3 , введем в �3
цилиндрические координаты ξ , ϕ, x3 :
 x1 =ξ cos ϕ ; x2 =ξ sin ϕ , ξ = x12 +x22 , x3 =x3 ,        ϕ ∈[0;2π )
и сферические координаты        ( r ,θ , ϕ ) :
 x1 =r sin θ cos ϕ ; x2 =r sin θ sin ϕ ; x3 =r cosθ ; r = x ; θ ∈[0; π ] ; ϕ ∈[0;2π )
.
       Утверждение 3. В цилиндрических координатах оператор Лапласа
имеет вид
                       1 ∂ � ∂u�      1 ∂ 2 u ∂ 2u
                  ∆u = ⋅ � ξ � + 2 ⋅ 2 + 2 .                       (5.3)
                       ξ ∂ξ � ∂ξ�    ξ ∂ϕ ∂x3
      Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3)
к представлению оператора Лапласа в декартовых координатах. Имеем для
первых производных:
          ∂   ∂u        ∂u           ∂    ∂u         ∂u
            = cos ϕ + sin ϕ ; ξ        = ξ cos ϕ + ξ sin ϕ ;
         ∂ξ ∂x1        ∂x2          ∂ξ ∂x1          ∂x2
                         ∂u   ∂u        ∂u
                            =− ξ sin ϕ + ξ cos ϕ.
                         ∂ϕ   ∂x1       ∂x2
Отсюда для вторых производных:
 ∂ � ∂u�      ∂ 2u       ∂ 2u                ∂2u          ∂u      ∂u
    � ξ � = 2 ξcos ϕ +2
                   2
                               ξ cos ϕ sin ϕ+ 2 ξ sin 2 ϕ+ cos ϕ + sin ϕ;
∂ξ � ∂ξ�      ∂x1       ∂x1∂x2               ∂x2          ∂x1     ∂x2
1 ∂ �      ∂�
       � ξ � =
ξ ∂ξ � ∂ξ�
 ∂2u            ∂2 u               ∂2u          1 ∂u         1 ∂u
= 2 cos 2 ϕ +2        cos ϕ sin ϕ + 2 sin 2 ϕ +      cos ϕ +      sin ϕ ;
 ∂x1           ∂x1∂x2              ∂x2         ξ ∂x1        ξ ∂x2