Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 16 стр.

                                      - 16 -
               d
x0 и радиусом    . Пусть x* - последняя точка пересечения линии l с
               2
поверхностью упомянутого шара, если считать от x0 : u ( x* ) =u ( x0 ) . Как
                                                            d
установлено выше, в шаре с центром x* и радиусом               имеет место
                                                            2
равенство u ( x) =u ( x0 ) . Пусть   u** - последняя точка пересечения l с
поверхностью этого шара. Как и выше, функция u ( x) равна u ( x0 ) и в шаре
                      d
с центром u** и радиуса  и т.д. Таким образом, всю линию l можно
                      2
покрыть конечным количеством шаров, внутри которых u ( x) =u ( x0 ) .
Тогда точка x1 окажется внутри последнего из них и, следовательно,
u ( x1 ) =u ( x0 ) .
        Аналогично доказывается, что функция u ( x) не может достигать
наименьшего значения внутри области D . Для этого достаточно отметить,
что максимум функции u ( x) достигается в той же точке, в которой
достигается минимум функции −u ( x) . Согласно теореме Вейерштрасса,
непрерывная функция u ( x) в замкнутой ограниченной области достигает
своих наибольшего и наименьшего значений. А так как непостоянная
функция u ( x) не может принимать минимальное и максимальное значения
внутри области D , то, следовательно, это происходит на границе области
∂D . Теорема доказана.

        § 4. Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа

        Пусть Di ⊂�n - область без выходов на бесконечность с кусочно-
гладкой границей S =∂Di ; De =�n \ D i - область, внешняя по отношению
к Di (т.е. будем считать, что Di такова, что De - также область). Пусть на
S заданы непрерывные функции f k ( x) , x ∈S , k =1,2,3 .
      Внутренняя задача         Дирихле        (первая   внутренняя   краевая
задачакраевая задача).
        Найти функцию u ( x) , гармоническую в Di , непрерывную в D i и
принимающую на S заданные значения
                         u ( x ) x∈S = f1 ( x ) .                       (4.1)
        Аналогично определяется внешняя задача Дирихле, которая состоит