Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 14 стр.

                                - 14 -
     Доказательство. Возьмем внутри области произвольную точку
x0 ∈D . Окружим ее областью D ′ с границей S , целиком лежащей внутри
D . Функция u ( x) будет иметь непрерывные производные второго порядка
вплоть до поверхности S ′ =∂D′ . Применяя формулу (3.3) в области D ′ ,
получим
                                      �       1�
                               1 � 1 ∂u     ∂   �
                    u ( x0 ) = ∫� ⋅ −u r� dS .                   (3.4)
                              4π S / � r ∂n ∂n�
                                        �         �
          Так   как     точка          x0         не              лежит     на          S/,   то   функция
                                                              1
1
r
      (                                  2 −
  = ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 ) +( x3 −x03 ) 2
               2            2
                                                          )
                                             является непрерывной и имеет

непрерывные производные любого порядка по переменным x01 , x02 , x03 .
Следовательно, правую часть формулы (3.4) можно дифференцировать по
переменным x0 k , k =1,2,3 сколь угодно раз.

          Теорема 1 (о среднем арифметическом). Пусть функция u ( x)
гармонична в шаре BR (0) и имеет правильную нормальную производную
вплоть до границы S R (0) . Тогда справедливо представление
                                      1
                       u ( x0 ) =               ∫ udS ,              x0 ∈BR (0).                      (3.5)
                                    4π R 2   S R ( x0 )

      (Значение функции, гармонической в шаре и непрерывной на его
поверхности в центре шара равно среднему арифметическому ее значений
на поверхности этого шара).
      Доказательство. Пусть u ( x) гармонична внутри шара и непрерывна
вместе со своими первыми производными                                     BR ( x0 ) ,     x0 - центр шара.
Применим формулу (3.4) к функции u ( x) в шаре BR ( x0 ) :
                                                    �
                                                   1�
                                                 ∂
                                     1 � 1 ∂u        �
                          u ( x0 ) = ∫� ⋅ −u r� dS
                                    4π SR � r ∂n ∂n�
                                          �            �
                       1 1
при        x0 ∈S R :    = , а направление внешней нормали совпадает с
                       r R