Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 12 стр.

                                                                     - 12 -
                                                   ∂u ( x / )                         ∂u ( x)
                          lim ∫ f ( x      /
                                               )                dS x/ =∫f ( x )               dS x ,               (2.10)
                          ε→ 0
                                  Sε
                                                        ∂nx /                S
                                                                                       ∂nx
                                                            ξ


где Sε - поверхности, параллельные S .
     Доказательство. Из предыдущего утверждения следует, что нормали
nx и nx/ в точках x ∈S                                 и x / =x −εu x ∈Sε направлены одинаково, и в
силу определения правильной нормальной производной и непрерывности
f на G имеем равномерное стремление
                     ∂u ( x / )                        ∂u ( x / )                 ∂u ( x)
      f (x   /
                 )                = f (x       /
                                                   )                ⇒ f ( x)              , x / → x ; x / ∈−nx ; x ∈S .
                       ∂nx/                              ∂nx                       ∂nx
     Из последнего соотношения вытекает утверждение леммы.
     Следствие. Формулы Грина (2.2) и (2.3) остаются справедливыми,
если область D - не имеет выходов на бесконечность, ∂D - поверхность
класса C 2 , а функции                                     u , v∈C 2 ( D )  C D      ( )      и имеют правильные
нормальные производные на ∂D . В случае области D с выходами на
бесконечность, необходимо дополнительно потребовать, чтобы функции
u , v, ∆u , ∆ v∈L2 ( D ) .
     Поясним утверждение следствия. Для того чтобы избавиться от
предположения о том, что вторые производные функции u непрерывны
вплоть до границы ∂D , заменим область D областью Dε , лежащей вместе
с границей внутри D . Применим вначале формулу (2.6) к области Dε и
перейдем к пределу при Dε → D , после чего получим требуемый
результат.
     Аналогичные формулы имеют место и для плоскости ( D ⊂ �2 ) :
                                                                         �   ∂v       ∂u�
                          ∫(u∆ v−v ∆u )dx = ∫�� u ∂n −v ∂n��
                          D                                         ∂D
                                                                                            dS ,                   (2.11)

                                       �                1�
                                                   ∂ ln �
                        1 �                  1 ∂u       r dS − 1 ln 1 ∆udx .
             u ( x0 ) = ∫�
                                                              2π ∫
                                           ln ⋅ −u        �                                                        (2.12)
                       2π ∂D �               r ∂n    ∂n �        D
                                                                    r
                               �                            �
                           § 3. Основные свойства гармонических функций

     Пусть u ( x ), =( x1 , x2 , x3 ) ∈D ⊂ �3 - гармоническая функция в области