Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 19 стр.

                                     - 19 -
∂2u
     =
∂ϕ 2
  ∂u        ∂u        ∂2u 2 2        ∂2u                 ∂2u 2
=− ξ cos ϕ − ξ sin ϕ + 2 ξ sin ϕ −2        ξ sin ϕ cosϕ + 2 ξ cos2 ϕ ;
  ∂x1       ∂x2       ∂x1           ∂x1∂x2               ∂x2
 1 ∂2u   1       ∂u 1        ∂u ∂ 2u 2         ∂ 2u                ∂2u
       =−  cos ϕ    −  sin ϕ    +    sin ϕ −2        sin ϕ cos ϕ +     cos 2 ϕ.
ξ ∂ϕ
  2  2
         ξ       ∂x1 ξ       ∂x2 ∂x1
                                   2
                                              ∂x1∂x2               ∂x2
                                                                     2


Поэтому
∂1    �∂ �      ∂1 2u ∂ 2u            ∂ 2u                  ∂ 2u 2
       ξ      + 2        =     cos ϕ +2
                                  2
                                               cos ϕ sin ϕ + 2 sin ϕ +
ξ ∂ξ �� ∂ξ��    ξ ∂ϕ 2 ∂x12             ∂x1∂x2              ∂x2
     1 ∂u         1 ∂u          1     ∂u 1          ∂u ∂ 2u 2
   +      cos ϕ +       sin ϕ − cos ϕ    − sin ϕ        +    sin ϕ −
    ξ ∂x1         ξ ∂x2         ξ     ∂x1 ξ        ∂x2 ∂x12
                          ∂2u                ∂2u         ∂2u ∂2u
                    −2          sin ϕ cos ϕ + 2 cos 2 ϕ = 2 + 2 ,
                         ∂x1∂x2              ∂x2         ∂x1 ∂x2
откуда немедленно вытекает утверждение.
     Утверждение 4. В сферических координатах оператор Лапласа имеет
вид
             1 ∂ � 2 ∂u�      1� ∂         � ∂u           1      ∂2u
         ∆u =       � r   � +     �    sin θ�      +                  . (5.4)
             r 2 ∂r �   ∂r�   r 2 � ∂t        � ∂t   r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
     Доказательство. Для доказательства перейдем от представления (5.3)
к представлению (5.3) оператора Лапласа в цилиндрических координатах.
Свяжем эти координаты соотношениями ξ =r sin θ ; x3 =r cosθ . Имеем
для первых производных:
         ∂u ∂u        ∂u                    ∂u ∂u 2      ∂u
            = sin θ + cosθ ;           r2     = r sin θ + r 2 cos θ ;
         ∂r ∂ξ       ∂x3                    ∂r ∂ξ        ∂x3
      ∂u ∂u       ∂u               ∂u ∂u              ∂u
        = r cosθ − r sin θ ; sin θ   = r cos θ sin θ − r sin 2 θ .
      ∂θ ∂ξ       ∂x3              ∂θ ∂ξ              ∂x3
Отсюда для вторых производных:
                ∂u � 2 ∂u�      ∂ � ∂u 2         ∂u         �
                     � r � = �          r sin θ + r 2 cosθ� =
                ∂r �     ∂r�    ∂r � ∂ξ          ∂x3      �
  ∂2u                   ∂2u 2                ∂2u         ∂u        ∂u
 = 2 r 2 sin 2 θ +2          r sin θ cosθ + 2 r 2 cosθ + 2r sin θ + 2r cosθ;
  ∂ξ                   ∂ξ∂x3                 ∂x3         ∂ξ        ∂x3
           ∂u � 2 ∂u�   ∂ � ∂u 2         ∂u         �
                � r � = �       r sin θ + r 2 cos θ� =
           ∂r �     ∂r� ∂r � ∂ξ          ∂x3          �