Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 21 стр.

                                               - 21 -
                               1   ∂ �     ∂u� *
                        + 2      ⋅ � sin θ � =
                          ρ sin θ ∂θ �     ∂ϕ�
                                                                                                         (5.5)
         1 ∂ �            ∂u� *    r3     ∂ �    ∂u�    r3   ∂u
       = 2⋅ �           ρ2 � + 5        ⋅ � sin θ � + 5     ⋅ .
         ρ ∂ρ �           ∂ρ�    R sin θ ∂θ �    ∂θ� R sin θ ∂ϕ
Кроме того,
    ∂    u* ∂  � R�    � R �2 ∂     � r��    � r2 1 3 ∂u      1
            = � u� ⋅ � − �2 = � u� � ⋅ −   � 2 =− 3 r    −r 2 3 u;
        ∂ρ ∂r � ρ �   � ρ�      ∂r � R � �  � R   R   ∂r     R
                 ∂u ∗ R 4 � r 3�   ∂u R� 4 � r 2       ∂u
               ρ  2
                     = 2 ⋅ � − �3 ⋅ − � 2 ⋅ � 3 u =−Rr    −Ru;
                 ∂ρ r � R�         ∂r r � � R          ∂r
         ∂ � 2 ∂u* �                ∂ � ∂u � �           �r 2       r 2 � ∂u       ∂ 2 u ∂u�
             �   ρ        � =−    R    � r      + u
                                                  � � ⋅ −� 2     =       �      +r       + � =
        ∂ρ �         ∂ρ �           ∂r � ∂r � �          R�          R     � ∂r    ∂r  2
                                                                                          ∂r�
                                            2r 2 ∂u r 3 ∂ 2 u
                                         =       ⋅ + ⋅              ;
                                             R ∂r R ∂r 2
         1 ∂ � 2 ∂u� ∗               r 2 2r 2 ∂u r 5 ∂u r 5 � ∂ 2 u 2 ∂u�
               ⋅   �  ρ         �  =      ⋅      ⋅ + ⋅                = �           + ⋅ � =
        ρ2 ∂ρ �             ∂ρ�      R 4 R ∂r R5 ∂r 2 R 5 � ∂r 2 r ∂r�
                                            r5 � 1 ∂ �        ∂u� �
                                         = 5 � 2 ⋅ � r2 � � .
                                            R � r ∂r �        ∂r� �
Из последнего равенства и из равенства (5.5) имеем
                 r 5 � 1 ∂ � 2 ∂u�             1      �∂          ∂u �      1       ∂2u          �
        ∆u * =        �   ⋅     � r    � +          ⋅  �  sin θ ⋅      � +        ⋅                  � ,
                 R 5 � r 2 ∂r �     ∂r�    r 2 sin θ ∂� θ         ∂θ � r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2              �
                   r5
то есть ∆u ∗( x∗) =   ∆u ( x). Отсюда и следует требуемое утверждение.
                   R5
               Лемма 4 (об устранимой особенности). Пусть            ξ =x -
изолированная особая точка функции u (ξ ) и во всех точках некоторой
шаровой окрестности Ba ( x) точки x функция u (ξ ) гармонична, причем
           �1 �
u (ξ ) =o �     � . Тогда u (ξ ) может быть доопределена в точке ξ =x до
        � ξ − x  �
гармонической.
      Доказательство. В дальнейшем будет доказана формула Пуассона,
согласно которой можно построить гармоническую в шаре Ba ( x) функцию
v (ξ ) , принимающую на Sa ( x) те же значения, что и u (ξ ) (т.е.
принимающую на S a ( x) заданные значения). Рассмотрим также функцию