Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 22 -
11
xa
ξ
−
−
, где
a
- радиус
()
a
Sx
. Последняя функция неотрицательна при
()
a
Bx
и гармонична в области ()\(),
a
VBxBxa
εε
ε
=<
(см . лемму 1).
При
x
ξ
→
эта функция растет как
1
x
ξ
−
, поэтому, если функция
(
)
u
ξ
при
x
ξ
→
растет медленнее, т.е.
()
1
uo
x
ξ
ξ

=

−

, или
(
)
0
ux
ξξ
⋅−→
при
0
x
ξ
−→
, то существует такое число
(
)
(
)
0,0
ηεηε
>→
при
0
→
,
что
()
11
vu
xa
ηε
ξ

−≤−

−

при
x
ξε
−=
и
xa
ξ
−=
. При
xa
ξ
−=
в
этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом
выборе функции
()
ηε
, а для выполнения этого неравенства при
x
ξε
−=
примем за
η
наименьшее значение выражения
11
v/u
a
ε

−−


(заметим,
что при
(
)
0xu
ξξ
−→
растет медленнее
1
x
ξ
−
по условию , а
(
)
v
ξ
-
вообще ограничена, как гармоническая ). Так как функции
(
)
(
)
vu
ξξ
−
и
()
11
xa
ηξ
ξ

−⋅

−

обе являются гармоническими в области
V
ε
, то
неравенство
() ()
1111
()v(),
u
xaxa
ηξξξηξ
ξξ

−−≤−≤−

−−

выполненное на границе области , по принципу максимума выполнено и
внутри
V
ε
. (Действительно , если , например,
()()
11
v0
u
xa
ηξ
ξ

−−−≤

−

на границе, то эта разность не может быть
больше нуля внутри области ).
Зафиксируем точку
ξ
и устремим
ε
к нулю . Правая часть
неравенства
()
11
vu
xa
ηξ
ξ

−≤−

−

будет стремиться к нулю , а т.к . его
левая часть не зависит от
ε
, то
()v()
uxx
=
и, следовательно , функция
(
)
u
ξ
гармонична при
()
a
xBx
∈
. Лемма доказана. 
                                    - 22 -
      1  1
        − , где a - радиус Sa ( x) . Последняя функция неотрицательна при
    ξ −x a
ξ ∈Ba ( x) и гармонична в области Vε =Ba ( x) \ Bε ( x) , ε 0, η (ε ) → 0 при ε → 0 ,
                    �
                    1      1�
что u −v ≤η (ε )�        − � при ξ −x =ε и ξ −x =a . При ξ −x =a в
                � ξ −x a�
этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом
выборе функции η (ε ) , а для выполнения этого неравенства при ξ −x =ε
                                                          � 1 1�
примем за η наименьшее значение выражения u −v / �            −�    (заметим,
                                                           � ε a�
                                                    1
что при ξ −x → 0        u (ξ ) растет медленнее        по условию, а v (ξ ) -
                                                  ξ −x
вообще ограничена, как гармоническая). Так как функции u (ξ ) −v (ξ ) и
�   1  1�
�     − � ⋅η (ξ )       обе являются гармоническими в области         Vε , то
� ξ −x a�
                    �  1    1�                        �  1    1�
неравенство −η (ξ )�       − � ≤u (ξ ) −v(ξ ) ≤η (ξ )�      −� ,
                   � ξ −x a �                        � ξ −x a�
выполненное на границе области, по принципу максимума выполнено и
внутри                Vε .     (Действительно,          если,    например,
                �1   1�
(u −v ) −η (ξ )�    − � ≤0 на границе, то эта разность не может быть
             � ξ −x a�
больше нуля внутри области).
     Зафиксируем точку ξ и устремим ε к нулю. Правая часть
                           �1    1�
неравенства u −v ≤η (ξ )�      −�      будет стремиться к нулю, а т.к. его
                        � ξ −x a�
левая часть не зависит от ε , то u ( x) =v( x) и, следовательно, функция
u (ξ ) гармонична при x ∈Ba ( x) . Лемма доказана.

Страницы