Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 23 -
Теорема 3. Пусть
()
ux
гармоническая вне шара
(0)
R
B функция.
Тогда при x
→∞
2
11
();()
||||
uxOuxO
xx
=∇=
. (5.6)
Доказательство. По определению гармонической в области с
выходами на бесконечность функции,
()0
ux
→
при x
→∞
, т.е.
()(1)
uxo
=
при
x
→∞
. Совершая преобразование Кельвина, получим
функцию
(
)
**
ux
гармоническую в
{
}
(0)\0
R
B
и удовлетворяющую при
*
0
x
→
условию
()
**
*
11
(1)uxoo
x
x

==



. По лемме 4 об устранимой
особенности заключаем, что
(
)
**
ux
- гармоническая в
(0)
R
B функция.
Совершая обратное преобразование Кельвина для функции
()
ux
получим
представление
2
*
2
(),
RR
uxux
x
x

=



из которого (и из ограниченности в
шаре
(0)
R
B гармонической функции
(
)
**
ux
) вытекает первая из оценок
(5.6). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать
представление
2
*
2
()
RR
uxux
x
x

=



по каждой из независимых переменных
k
x
. Теорема 3 доказана .
Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние
краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.
§ 6. Теоремы единственности решений
краевых задач для уравнения Лапласа
Теорема 4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как
внутренней так и внешней , единственно в классе функций
(
)
2
()
CDCD
I
.
Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле.
Предположим, что существуют два решения
1
()
ux
и
2
()
ux
одной и той же
задачи Дирихле. Тогда их разность
12
()()()
uxuxux
=−
будет
гармонической и
0
D
u
∂
≡
. Отсюда по принципу максимума следует, что
()0
ux
≡
в
D
, т.е.
12
()()
uxux
≡
, т.к . в противном случае она должна была 
                                        - 23 -
     Теорема 3. Пусть u ( x) гармоническая вне шара B R (0) функция.
Тогда при x → ∞
                          � 1 �                    � 1�
                u ( x) =O � � ;      ∇ u ( x) =O �         �2 .       (5.6)
                           � | x | �                � | x |�
     Доказательство.    По определению гармонической в области с
выходами на бесконечность функции, u ( x) → 0 при               x → ∞, т.е.
u ( x) =o(1) при x → ∞. Совершая преобразование Кельвина, получим
функцию u * ( x* ) гармоническую в BR (0) \ {0} и удовлетворяющую при
                                          � 1�
x* → 0 условию u * ( x* ) =
                              1
                                 o (1) =o  � �     . По лемме 4 об устранимой
                              x*            � x�
                                             � �
особенности заключаем, что         u * ( x* ) - гармоническая в      BR (0) функция.
Совершая обратное преобразование Кельвина для функции u ( x) получим

                      R * � R2 �
представление u ( x) = u � 2 �x , из которого (и из ограниченности в
                      x �� x ��

шаре BR (0) гармонической функции u* ( x* ) ) вытекает первая из оценок
(5.6). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать
                       R � R2 �
представление u ( x) = u* � 2 � x по каждой из независимых переменных
                       x �� x � �
xk . Теорема 3 доказана.
     Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние
краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.

                      § 6. Теоремы единственности решений
                      краевых задач для уравнения Лапласа

     Теорема 4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как
внутренней так и внешней, единственно в классе функций C 2 ( D )  C D .          ( )
     Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле.
Предположим, что существуют два решения u1 ( x) и u2 ( x) одной и той же
задачи   Дирихле.    Тогда      их     разность        u ( x) =u1 ( x) −u2 ( x)   будет
гармонической и u ∂D ≡0 . Отсюда по принципу максимума следует, что
u ( x) ≡0 в D , т.е. u1 ( x) ≡u2 ( x) , т.к. в противном случае она должна была

Страницы