Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 24 стр.

                                 - 24 -
бы достигать внутри D наибольшего положительного или наименьшего
отрицательного значений, что невозможно.
     Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле.
     Как и ранее, предположим, что существуют два решения u1 ( x ) и
u2 ( x) . Тогда их разность      u ( x) =u1 ( x) −u2 ( x)    будет гармонической
функцией, равной нулю на ∂De и равномерно стремящейся к нулю при
x → ∞, т.е. для любого ε >0 найдется такое                      R , что для     x ≥R
справедливо неравенство u ( x) <ε .
     Пусть    x - произвольная точка области                  De . Проведем сферу
S r (0) с радиусом r - настолько большим, чтобы x и поверхность ∂Dl
лежали внутри S r (0) . Кроме того, выберем r =r (ε) настолько большим,
чтобы по произвольно заданному            ε при x ∈Sr (0) было выполнено
неравенство     u ( x) <ε . Тогда, как следует из           теоремы о максимуме,
примененной к области De ∩ Br (0) , неравенство u ( x) <ε выполнено для
всех x ∈De ∩ Br (0) . В силу произвольности ε заключаем, что u ( x) =0 , а
т.к. x - произвольная точка     , то u ( x) =0 в De , т.е. u1 ≡u2 . Теорема 4
доказана.
     Условие 1. Поверхность          ρ =∂Di =∂De - поверхность класса C 2 ,
замкнутая и ограниченная.
     Теорема 5. Пусть выполнено условие 1. Решение внутренней задачи
Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной
постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является
равенство
                                 ∫f ( x)dS =0 .
                                 S
                                     2                                           (6.1)

     Доказательство. Если       u1 и u2 - два решения внутренней задачи
Неймана, то их разность       u =u1 −u2 ∈C 2 ( Di )  C D i ( )      и имеет нулевую
правильную нормальную производную на ∂Di . Применяя первую формулу
                                                       2             ∂u
Грина (2.2) к     u =v =u1 −u2 , получим        ∫∇ u
                                                Di
                                                           dx = ∫u
                                                               ∂Di
                                                                     ∂n
                                                                        dS =0 , откуда

следует, что ∇ u =0 , x ∈Di , так что u =u1 −u2 =const .
    Необходимость условия (6.1) разрешимости внутренней задачи
Неймана вытекает из условия (4.2) и второй формулы Грина (2.3),