Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 26 -
1.
(
)
0
,
gxx
гармонична по
i
xSD
∈=∂
в и
1
0
i
gxCD
⋅∈ ;
2.
()
0
1
,
4
gxx
r
π
=− при
i
xSD
∈=∂
.
Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям
()
ux
и
(
)
0
,
gxx
, получим
(
)
()
0
0
,
()
(),0
xx
S
gxx
ux
uxgxxdS
nn
∂
∂
−⋅=

∂∂

∫
, (7.2)
(интегрирование ведется по
xS
∈
). Из второго свойства функции
(
)
0
,
gxx
следует
(
)
0
,
1()
()0
4
xx
S
gxx
ux
uxdS
nrnπ
∂
∂
+⋅=

∂∂

∫
.
Вычитая последнее равенство из (7.2), получим
() ()
00
1
(),
4
x
S
uxuxgxxdS
nrπ
∂

=−+

∂

∫
. (7.4)
Обозначим
() ()
00
1
,,
4
Gxxgxx
r
π
=+ . (7.5)
Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.
Определение. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле Лапласа
в области
i
D
называется функция
(
)
00
,,,
GxxxDxD
∈∈
,
удовлетворяющая следующим условиям
1.
(
)
0
,
Gxx
- гармоническая по
{
}
0
\
i
xDx
∈
;
2.
(
)
0
,0
xS
Gxx
∈
=
.
3. При
i
xD
∈
справедливо представление (7.5), где
(
)
00
,,
rxxgxx
=−
- гармоническая в
i
D
функция.
Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной
части
(
)
0
,
gxx
, которая определяется из задачи Дирихле
(
)
()
0
00
,0;
1
,,.
4
x
xS
gxx
gxxxD
rπ
∈
∆=
=−∈
С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле
( если оно существует) задается формулой , вытекающей из (7.4) 
                                                            - 26 -
      1. g ( x, x0 ) гармонична по x ∈S =∂Di в                            и g ( ⋅ , x0 ) ∈C 1 ( Di ) ;
                        1
      2. g ( x, x0 ) =−     при x ∈S =∂Di .
                       4π r
      Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям u ( x)
и g ( x, x0 ) , получим
                      �                ∂g ( x, x0 )                ∂u ( x) �
                  ∫�� u ( x)                        −g ( x, x0 ) ⋅           dS =0 ,                     (7.2)
                  S
                                          ∂nx                       ∂nx ��
(интегрирование ведется по x ∈S ). Из второго свойства функции g ( x, x0 )
следует
                                   �         ∂ g ( x, x0 )   1 ∂u ( x) �
                               ∫�� u ( x)
                               S
                                                 ∂nx
                                                           +    ⋅
                                                            4π r ∂nx ��
                                                                         dS =0 .

      Вычитая последнее равенство из (7.2), получим
                                    ∂ � 1                �
                u ( x0 ) =−∫u ( x)      �     +g ( x, x0� ) dS .                                         (7.4)
                           S
                                   ∂nx � 4π r              �
      Обозначим
                                1
                                            G ( x, x0 ) =
                                    +g ( x, x0 ) .             (7.5)
                               4π r
      Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.
      Определение. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле Лапласа
в    области              Di            называется              функция       G ( x, x0 ) , x ∈D , x0 ∈D ,
удовлетворяющая следующим условиям
     1. G ( x, x0 ) - гармоническая по x ∈Di \ {x0 };
      2. G ( x, x0 ) x∈S =0 .
      3.         При                         x ∈Di     справедливо        представление        (7.5),     где
r = x −x0 , g ( x, x0 ) - гармоническая в Di функция.
     Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной
части g ( x, x0 ) , которая определяется из задачи Дирихле
                                        � ∆x g ( x, x0 ) =0;
                                        �
                                        �    1
                       �� g ( x, x0 ) x∈S =−4π r , x0 ∈D.
      С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле
(если оно существует) задается формулой, вытекающей из (7.4)

Страницы