Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 27 стр.

                                           - 27 -
                                  ∂G ( x, x0 )
            u ( x0 ) =−∫f1 ( x)                dS ;    (u ( x) x∈S = f1 ( x)) .       (7.5)
                       S
                                    ∂nx
       При выводе формулы (7.5) предполагалось существование решения
u ( x) внутренней задачи Дирихле с граничными значениями f1 ( x) ,
непрерывного вместе со своими производными вплоть до границы S .
Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть гармонической внутри
области Di и непрерывной в замкнутой области D i . Таким образом, не
давая доказательства существования решения, формула (35) дает
интегральное представление существующих достаточно гладких решений
задачи Дирихле. А.М. Ляпунов изучал представление (7.5) решения задачи
Дирихле и установил, что если граница S области Di «достаточно
хорошая» (в каком смысле, установим позже), формула (7.5) представляет
решение задачи Дирихле при любом выборе функции f ( x) , входящей в
граничные условия.
     Совершенно аналогично вводится функция Грина для внешней
задачи Дирихле.

      Некоторые свойства функции Грина внутренней задачи Дирихле

      Свойство 1. G ( x, x0 ) >0 , x ∈Di .
      Доказательство. На границе S =∂Di : G ( x, x0 ) =0                   и G ( x, x0 ) >0
на Sε ( x0 ) , если ε >0 - достаточно мало (т.к. G ( x, x0 ) → +∞ при x → x0 ).
Отсюда в силу принципа максимума (см. теорему 2) вытекает искомое
утверждение.
                                        1
     Замечание. Т.к. g ( x, x0 ) x∈S =−     <0 , то по принципу максимума,
                                       4π r
g ( x, x0 ) <0 при всех x ∈Di и, следовательно,
                            1                   1
                 0 0 - настолько
мало, что Sε ( xk ) ⊂ Di , k =1 2 . В силу гармоничности функций                   u и v
объемный интеграл будет равен нулю. Интеграл по поверхности S также