Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 28 стр.

                                                                      - 28 -
равен нулю, в силу граничного условия G ( x, x0 ) x∈S =0 . Следовательно,
имеет место равенство
                                �               ∂G ( x, x2 )              ∂G ( x, x1 ) �
                    ∫ �� G ( x , x )
                Sε ( x1 )
                                          1
                                                   ∂n
                                                             −G ( x, x2 )
                                                                             ∂n          � dS +
                                                                                          �
                                                                                                                            (7.6)
                            �∂G ( x, x2 )              ∂G ( x, x1 ) �
           + ∫ � G ( x, x1 )              −G ( x, x2 )                � dS =0.
            Sε ( x2 ) �
                                ∂n                        ∂n           �
       Так как при ε → 0 для сферы Sε ( xk ) справедливо равенство
                          ∂G ( x, x3−k ) �     1             � ∂G ( x, x3−k )
        G ( x, xk )                     =�         +g ( x, xk� )              , k =1,2 ,
                              ∂n           � x −xk            �    ∂n
                                    ∂G ( x, x3−k )
где   g ( x, xk ) и                                 - непрерывные, ограниченные функции, то
                                        ∂n
                                          1        1                  ∂G ( x, x3−k )      � 1 �
учитывая, что                                   = , имеем G ( x, xk )                ≤c2 � +c� 1 ,
                                      x −xk ε                             ∂n               � ε �
x ∈Sk , k =1,2 . Откуда
                                         ∂G ( x, x3−k )         � 1 �
              ∫         G ( x, xk )                     dS ≤c2 � +c� 1 ⋅ 4πε 2 → 0 при ε → 0 .
           S ε ( xk )
                                             ∂n                  � ε �
       Учтем также, что
         ∂G ( x, xk )                           ∂ � 1        �                          1 ∂g ( x, xk )
                                               = � +g ( x, xk� )                      =− 2 +                            =
            ∂n        x∈S
                                                ∂n � r         �               x∈Sk     r     ∂n       x∈S
                                    ε ( xk )                                                                 ε ( xk )


                                                 1 ∂g
                                               =− 2   ( x, xk ) ,                 k =1,2,
                                                 ε ∂n
      ∂g ( x, xk )
где                - непрерывная ограниченная функция. Поэтому
          ∂n
                        ∂G ( x, xk )                            �               1                 ∂g ( x, xk ) �
  −G ( x, x3−k )                                              =� G ( x, x3−k ) ⋅ 2 +G ( x, x3−k )                                .
                           ∂n        x∈S                          �             ε                     ∂n ��        x∈Sε ( xk )
                                                 ε ( xk   )

       Используя непрерывность по                                              x ∈Sk        функций         G ( x, x3−k ) и
∂g ( x, xk )
                 , а также интегральную теорему о среднем, получим
       ∂n

          G ( x, x3−k ) ⋅ 2 dx +O (ε 2 ) =G ( xср ,k , x3−k ) ⋅ 4π +O (ε 2 ); xср ,k → xk при ε → 0.
                          1
   ∫
Sε ( xk )
                         ε
Следовательно, в пределе при ε → 0 , равенство (7.6) примет вид
                      −4π G ( x1 , x2 ) +4π G ( x2 , x1 ) =0 .