Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 28 -
равен нулю , в силу граничного условия
(
)
0
,0
xS
Gxx
∈
=
. Следовательно ,
имеет место равенство
()
(
)
()
(
)
()
()
()
()
1
2
21
12
()
21
12
()
,,
,,
,,
,,0.
Sx
Sx
GxxGxx
GxxGxxdS
nn
GxxGxx
GxxGxxdS
nn
ε
ε
∂∂

−+

∂∂

∂∂

+−=

∂∂

∫
∫
(7.6)
Так как при
0
→
для сферы
()
k
Sx
ε
справедливо равенство
()
()
()
()
33
,,
1
,,,1,2
kk
kk
k
GxxGxx
Gxxgxxk
nxxn
−−

∂∂
=+=

∂−∂

,
где
(
)
,
k
gxx
и
(
)
3
,
k
Gxx
n
−
∂
∂
- непрерывные, ограниченные функции, то
учитывая , что
11
k
xx
ε
=
−
, имеем
()
(
)
3
21
,
1
,,
ε
−
∂

≤+

∂

k
k
Gxx
Gxxcc
n
,1,2
∈=
k
xSk . Откуда
()
()
2
3
21
()
,
1
,40
k
k
k
Sx
Gxx
GxxdScc
n
ε
πε
ε
−
∂

≤+⋅→

∂

∫
при
0
ε
→
.
Учтем также, что
(
)
()
(
)
()
2
()()
2
,,
11
,
1
,,1,2,
k
kk
kk
k
xS
xSxxSx
k
Gxxgxx
gxx
nnrrn
g
xxk
n
εε
ε
∈
∈∈
∂∂
∂

=+=−+=

∂∂∂

∂
=−=
∂
где
(,)
k
gxx
n
∂
∂
- непрерывная ограниченная функция. Поэтому
()
(
)
() ()
333
2
()
()
,
1(,)
,,,
k
k
k
k
kkk
xSx
xSx
Gxx
gxx
GxxGxxGxx
nn
ε
ε
ε
−−−
∈
∈
∂
∂

−=⋅+

∂∂

.
Используя непрерывность по
k
xS
∈
функций
(
)
3
,
k
Gxx
−
и
(,)
k
gxx
n
∂
∂
, а также интегральную теорему о среднем, получим
()
()
()
()
22
3,3,
2
()
1
,,4;
при 0.
k
k ср kk ср kk
Sx
GxxdxOGxxOxx
ε
επεε
ε
−−
⋅+=⋅+→→
∫
Следовательно , в пределе при
0
ε
→
, равенство (7.6) примет вид
(
)
(
)
1221
4,4,0
GxxGxx
ππ
−+=
. 
                                                                      - 28 -
равен нулю, в силу граничного условия G ( x, x0 ) x∈S =0 . Следовательно,
имеет место равенство
                                �               ∂G ( x, x2 )              ∂G ( x, x1 ) �
                    ∫ �� G ( x , x )
                Sε ( x1 )
                                          1
                                                   ∂n
                                                             −G ( x, x2 )
                                                                             ∂n          � dS +
                                                                                          �
                                                                                                                            (7.6)
                            �∂G ( x, x2 )              ∂G ( x, x1 ) �
           + ∫ � G ( x, x1 )              −G ( x, x2 )                � dS =0.
            Sε ( x2 ) �
                                ∂n                        ∂n           �
       Так как при ε → 0 для сферы Sε ( xk ) справедливо равенство
                          ∂G ( x, x3−k ) �     1             � ∂G ( x, x3−k )
        G ( x, xk )                     =�         +g ( x, xk� )              , k =1,2 ,
                              ∂n           � x −xk            �    ∂n
                                    ∂G ( x, x3−k )
где   g ( x, xk ) и                                 - непрерывные, ограниченные функции, то
                                        ∂n
                                          1        1                  ∂G ( x, x3−k )      � 1 �
учитывая, что                                   = , имеем G ( x, xk )                ≤c2 � +c� 1 ,
                                      x −xk ε                             ∂n               � ε �
x ∈Sk , k =1,2 . Откуда
                                         ∂G ( x, x3−k )         � 1 �
              ∫         G ( x, xk )                     dS ≤c2 � +c� 1 ⋅ 4πε 2 → 0 при ε → 0 .
           S ε ( xk )
                                             ∂n                  � ε �
       Учтем также, что
         ∂G ( x, xk )                           ∂ � 1        �                          1 ∂g ( x, xk )
                                               = � +g ( x, xk� )                      =− 2 +                            =
            ∂n        x∈S
                                                ∂n � r         �               x∈Sk     r     ∂n       x∈S
                                    ε ( xk )                                                                 ε ( xk )


                                                 1 ∂g
                                               =− 2   ( x, xk ) ,                 k =1,2,
                                                 ε ∂n
      ∂g ( x, xk )
где                - непрерывная ограниченная функция. Поэтому
          ∂n
                        ∂G ( x, xk )                            �               1                 ∂g ( x, xk ) �
  −G ( x, x3−k )                                              =� G ( x, x3−k ) ⋅ 2 +G ( x, x3−k )                                .
                           ∂n        x∈S                          �             ε                     ∂n ��        x∈Sε ( xk )
                                                 ε ( xk   )

       Используя непрерывность по                                              x ∈Sk        функций         G ( x, x3−k ) и
∂g ( x, xk )
                 , а также интегральную теорему о среднем, получим
       ∂n

          G ( x, x3−k ) ⋅ 2 dx +O (ε 2 ) =G ( xср ,k , x3−k ) ⋅ 4π +O (ε 2 ); xср ,k → xk при ε → 0.
                          1
   ∫
Sε ( xk )
                         ε
Следовательно, в пределе при ε → 0 , равенство (7.6) примет вид
                      −4π G ( x1 , x2 ) +4π G ( x2 , x1 ) =0 .

Страницы