Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 29 -
Отсюда вытекает второе свойство функции Грина .
Замечание. В случае
2
n
=
функция Грина имеет вид
() ()
000
11
,ln,,
2
Gxxgxxrxx
r
π
=⋅+=−
.
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре
Задача состоит в поиске функции
(
(
2
(0)(0)
RR
uCBCB∈ I , такой ,
что
0
u
∆=
в шаре
(0)
R
B
, а на границе шара
(0)
R
B
- сфере
(0)
R
S
выполнено условие
(0)
(),
R
S
ufx
=
где
()
fx
−
непрерывная по
(0)
R
xS
∈
функция.
Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке
шара
0
x
, такой что
0
,
xR
ρρ
=<
, с помощью преобразования инверсии
(5.1) сопоставим точку
2
2
11311110
2
:\(0),,,
R
R
xxRBxRxx
ρρρ
ρ
∈===.
Возьмем теперь некоторую точку
3
x
∈
!
и обозначим через
r
и
1
r
расстояния
0
rxx
=−
и
11
xxr
−−
соответственно . Найдем соотношение
между
r
и
1
r
, когда
(0)
R
xS
∈
(см . рис.2).
Имеем
01
OxxOxx
∆∆
! , т.к .
0
Oxx
∠
- общий и
1
1
00
x
OxROx
OxxOxR
===, т.к .
2
1
1
0
x
R
R
xR
ρρ
==!.
Из подобия этих треугольников следует, что
1
r
rR
ρ
=
или
1
11
0
R
rrρ
−⋅=
при
(0)
R
xS
∈
.
Покажем теперь , что функция
()
0
01
111
,
44
R
Gxx
xxxx
ππρ
=−⋅⋅
−−
(
1
x
- инверсия
0
x
)
есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара
(0)
R
B
.
Действительно , функция
(
0
,
Gxx
гармонична по
x
в
(0)
R
B за
исключением точки
0
(0)
R
xxB
=∈
, где она обращается в бесконечность .
При
01
(0)
R
xxS
=∈
справедливо равенство
(
0
,0
Gxx
=
. Положив
()
1
2
00
2
10
11
,
44
RRR
gxxxx
xxxπρπρ
−
=−⋅⋅=−⋅−
−
,
x
R
r
O
ρ
0
x
1
r
1
ρ
Рис. 2
1
x
                                    - 29 -
      Отсюда вытекает второе свойство функции Грина.
      Замечание. В случае n =2 функция Грина имеет вид
                              1   1
                G ( x, x0 ) = ⋅ ln +g ( x, x0 ) , r = x −x0 .
                             2π   r

          Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

      Задача состоит в поиске функции u ∈C 2 ( BR (0) )  C ( BR (0) ) , такой,
что   ∆u =0 в шаре BR (0) , а на границе шара BR (0) - сфере S R (0)
выполнено условие           uS           = f ( x), где f ( x) − непрерывная по x ∈S R (0)
                                 R (0)


функция.
     Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке
шара x0 , такой что x0 =ρ , ρ

Страницы