Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 30 стр.

                                                   - 30 -
получим, что G ( x, x0 ) удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на
функцию Грина.
         Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу
                     ∂G ( x, x0 )
u ( x0 ) =− ∫ f ( x)              dS , получим
           S R (0)
                        ∂ n
                                                          � 1 R 1�
                                                          ∂�  − ⋅�
                                         1                 � r ρ r� 1
                             u ( x0 ) =−
                                        4π SR∫
                                                   f ( x)             dS ,                                          (7.7)
                                             (0)
                                                              ∂n
                            ∂
где            дифференцирование ведется    по
                           ∂n                                                              x0
направлению нормали в точке границы x ∈S R (0) .                                                                     nx
Преобразуем                 полученную       формулу.              Имеем               O                      x

 ∂ � 1�  ∂�     1 �
    � � = �         � . В  соответствии  с            Рис. 3
∂n � r�  ∂n � x −x0�
определением дифференцирования по направлению нормами nk (см.
рис.3), имеем
                           � 1�             � � 1                   � 1�
                         ∂� �                �   ∂�               ∂� �
                ∂ � 1�      � r� cos (nOx ) +  � � r cos ( nOx ) + � r� cos nOx .
                    � � =                                                  ( 3)
                ∂n � r�   ∂x1                      ∂x2             ∂x3
                                         1                    2


Так как
    �                                                     �
 ∂ �                            1                             � =−1 ⋅ 2 ( xk −x0 k ) =−xk −x0 k , то
∂xk �          ( x1 −x01 ) +( x2 −x02 ) +( x3 −x03 )
                        2              2              2        �   2        r3            r3
         �                                                       �
∂ � 1�   −1 3 xk −x0 k              −1 3                          1
    � � = 2∑           cos (nOxk ) = 2 ∑ cos (rOxk )cos (nOxk ) =− 2 cos (r , n ).
∂n � r�  r k =1  r                  r k =1                        r
                                                                                      x1
                                                                                                     Рис. 4
Аналогично можно получить равенство
∂�           1�     1
               � =− 2 cos (r1 , n ) . Таким образом,
                                                                                                r1
     �
∂n �         r� 1  r1                                               ρ1
                                                                                                              n

  � 1 R 1�                                                                                  r                     (r�
                                                                                                                    ; n)
∂� − ⋅ �                                                                                               x
   � r ρ r� 1 =− 1 cos r , n +                                                                                    (r�
                               ( )                                               ρ              R                   1 ; n)
      ∂n                r2                         (7.8)                          O
    R cos ( r1 , n )
+ ⋅                  ; ( x ∈S R (0) ).
    ρ     r12