Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 32 -
(
1
r
- гармоническая функция, если
0
0
xx
−>
, а это так , поскольку
0
,
xRxR
ρ
=<=
).
Возьмем
(0)
R
xS∈ и докажем, что если
0
→
, то
(
)
(
)
0
uxux
→ .
Формула Пуассона справедлива и при
()1
fx
≡
, когда решение задачи
Дирихле, очевидно , существует и тождественно равно единице
23
3
(0)
1
1
4
R
S
R
dS
Rr
ρ
π
−
=
∫
. (7.10)
Умножим обе части последнего равенства на
()
fx
. Из формулы
Пуассона имеем
()
()
()
()
22
0
00
3
(0)
1
4
R
S
R
uxuxfxfxdS
Rr
ρ
π
−

−=−

∫
. (7.11)
Выберем радиус
2
δ
шара
(
)
2
Bx
δ
столь малым, чтобы при всех
(
)
2
(0)
R
xSBx
δ
∈ I в силу непрерывности
(
)
0
fx
имело место неравенство
()
(),0
2
fxfx
ε
ε
−<>
- произвольно мало. Обозначим
(
)
2
(0)
R
SBx
δ
σ = I . Оставшуюся часть сферы обозначим
(0)\
R
S
σ
.
Равенство (7.11) перепишем в виде
()
() ()
()
22
0
3
22
3
(0)\
1
()
4
1
().
4
R
S
R
uxuxfxfxdS
Rr
R
fxfxdS
Rr
σ
σ
ρ
π
ρ
π
−

−=−+

−

+−

∫
∫
(7.12)
Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства
(7.12). Вначале оценим первый интеграл
()
()
2222
33
1(по 7.8)
11
(),(0).
4242
R
RR
fxfxdSdSxB
RrRr
σσ
ρερε
ππ
=
−−

−<⋅=∀∈

∫∫
144424443
Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что
в своем стремлении к точке
x
, точка
0
x
уже подошла настолько близко,
что лежит в шаре
(
)
Bx
δ
. Тогда
0
xxr
δ
−=>
, если
\
xS
σ
∈
. Функция
()
fx
непрерывна на
(0)
R
S
, следовательно , она ограничена:
()
fxK
<
.
Отсюда имеем 
                                            - 32 -
 1
( - гармоническая функция, если                      x0 −x >0 , а это так, поскольку
 r
 x0 =ρ 0          -      произвольно                 мало.    Обозначим

                 ()
σ =S R (0)  B2δ x . Оставшуюся часть сферы обозначим                               S R (0) \ σ .
Равенство (7.11) перепишем в виде
                                                                R 2 −ρ2
                             ()
                u ( x0 ) −u x =
                                 1 �
                                     ∫
                                4π R σ �
                                         f ( x) − f x�
                                                      �()           r3
                                                                        dS +
                                                                                         (7.12)
                                                      R 2 −ρ2
                    +
                      1
                     4π R SR (0)\
                                               ()
                              ∫σ �� f ( x) − f x��        r3
                                                              dS .

      Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства
(7.12). Вначале оценим первый интеграл
                             R 2 −ρ 2     ε 1      R 2 −ρ 2     ε
    1 �
   4π R σ∫�
                       ()
            f ( x) − f x�
                         �       r 3
                                      dS < ⋅     ∫
                                          2 4π R σ r   3
                                                            dS = , ∀x ∈BR (0).
                                                                2
                                                    
                                                       =1(по   (7.8) )
     Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что
в своем стремлении к точке x , точка x0 уже подошла настолько близко,

                             ()
что лежит в шаре Bδ x . Тогда x −x0 =r >δ , если                           x ∈S \ σ . Функция
f ( x) непрерывна на S R (0) , следовательно, она ограничена:                      f ( x)

Страницы