Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 33 стр.

                                                        - 33 -
                                                 R 2 −ρ2     (2 K ) 4π R    2
                                                                                  � R 2 −ρ� 2
               1 �
              4π R σ∫�
                       f ( x) − f x�
                                   �       ()          3
                                                         dS <
                                                                 4π R
                                                                                .�
                                                                                       δ3 �
                                                                                            � .
                                                     r                             �
Когда x0 → x разность R 2 −ρ2 → 0 , следовательно,
                               R 2 −ρ 2     ε
  1 �
 4π R σ∫�
                       ()
          f ( x ) − f x�
                        �         r 3
                                        dS <
                                             2
                                                           при    x0 −x - достаточно малом. Из

                                                                       ε ε
оценок двух интегралов имеем                                    ()
                                                        u ( x0 ) −u x < + =ε . Отсюда в силу
                                                                       2 2
произвольности ε >0 следует                        lim u ( x ) =u ( x ) .
                                                            0
                                                  x0 → x

     Следствие из формулы Пуассона (Неравенство Гарнака). Рассмотрим
нигде не отрицательную в области D гармоническую функцию u ( x ) .
                                                                                                1 R 2 −ρ2
Пусть BR ( x0 ) ⊂ D . Пусть x ∈BR ( x0 ) . Легко видеть, что ядро                                   ⋅
                                                                                               4π R   r3
формулы Пуассона при ρ ⊂ R удовлетворяет
неравенствам
  1     R −ρ     1 R 2 −ρ2    1     R +ρ
     ⋅         ≤     ⋅     ≤     ⋅                                                         x
 4π R ( R +ρ )2 4π R   r3    4π R ( R −ρ )2                                            ρ        r

         R −ρ              R 2 −ρ 2         R 2 −ρ2                                     x0 R        x
                       =                  ≤         ;
        ( R +ρ )       ( R +ρ )
                 2                3
                                                r3
(т.к.
          R −ρ             R 2 −ρ2            R 2 −ρ2
                       =                  ≤
        ( R −ρ )           ( R −ρ )
                   2                  3
                                                 r3
                                                                                               Рис. 5
 по неравенству треугольника)
     Из формулы Пуассона непосредственно следует
      R ( R −ρ ) 1                                    R ( R +ρ ) 1
      ( R + ρ )
               2
                 ⋅
                   4π R 2    ∫       u ( x ) dS ≤u x ≤
                                                       ( R
                                                           ()
                                                           −ρ )
                                                               2
                                                                 ⋅
                                                                   4π R 2    ∫       u ( x) dS .
                          S R ( x0 )                                      S R ( x0 )

        Применив теорему о среднем значении, получим
                  R ( R −ρ )                  R ( R +ρ )
                  ( R +ρ )
                          2
                             ⋅u ( x0 ) ≤u x ≤
                                              ( R −ρ )
                                                      2    ()
                                                         ⋅u ( x0 ) .                                    (7.11)

     Эта оценка значений положительной гармонической функции в
произвольной точке шара через ее значения в центре шара называется
неравенством Гарнака.
        Теорема 7. Функция, гармоническая во всем �3 равна нулю.
        Доказательство. Пусть u ( x) - гармоническая при x ∈�3 функция.