Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 35 стр.

                                             - 35 -
                        ∂2u          ∂2 u               ∂2u 2
                       = 2 cos ϕ +2
                              2
                                           sin ϕ cos ϕ + 2 sin ϕ ;
                        ∂x1         ∂x1∂x2              ∂x2
       ∂ 2u        ∂ � ∂u            ∂u         �           ∂u            ∂u
              =r      � − ⋅ sin ϕ + ⋅ cos ϕ         � =−r       cos ϕ −r      sin ϕ −
       ∂ϕ 2
                 ∂ϕ � ∂x1           ∂x2           �         ∂x1           ∂x2

             � ∂u2
                              ∂u2
                                              �           �      ∂u
                                                                  2
                                                                               ∂ 2u     �
  −r sin ϕ � − 2 r cos ϕ +          r cos ϕ � +r cos ϕ� −             sin ϕ + 2 cos ϕ � =
            � ∂x1            ∂x1∂x2         �           �      ∂x1∂x2          ∂x2    �
       ∂u           ∂u                    ∂ 2u           ∂ 2u                ∂ 2u
 =−r       cos ϕ −r     sin ϕ +r 2 sin 2 ϕ 2 +r 2 cos 2 ϕ 2 −2r sin ϕ cos ϕ        .
       ∂x1          ∂x2                   ∂x1            ∂x2                ∂x1∂x2
       Поэтому
      ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u             ∂ 2u               ∂ 2u 2
          + ⋅ + ⋅       =     cos ϕ +2
                                 2
                                              sin ϕ cos ϕ + 2 sin ϕ +
      ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂x12          ∂x1∂x2              ∂x2
       1 ∂u      1 ∂u         1 ∂u     1 ∂u              ∂ 2u
      + ⋅ cos ϕ + ⋅    sin ϕ − ⋅ cosϕ − ⋅    sin ϕ +sin ϕ 2 +
                                                       2

       r ∂x1     r ∂x2        r ∂x1    r ∂x2             ∂x1
                       ∂ 2u                ∂ 2u  ∂ 2u ∂ 2u
            +cos 2 ϕ        −2sin ϕ cos ϕ       =    +     =∆u.
                       ∂x22               ∂x1∂x2 ∂x12 ∂x22
     Лемма доказана.
     Будем решать задачу Дирихле в круге в полярных координатах.
Перепишем уравнение Лапласа в виде
                         ∂ 2u    ∂u ∂2u
                              +
                             r2r    +           =0 .                                  (8.1)
                         ∂r 2    ∂r ∂ϕ 2
       Найдем частные решения уравнения (8.1), имеющие вид
                            u =Φ (ϕ ) R ( r ) .                                       (8.2)
       Подставив частное решение (8.2) в уравнение (8.1), получим
                   r 2Φ (ϕ ) R // (r ) +r Φ (ϕ ) R / ( r ) +Φ // (ϕ ) R (r ) =0
или
                                Φ //    r 2 R // (r ) +rR / (r )
                                      =−                         .                    (8.3)
                               Φ (ϕ )             R(r )
       Так как левая часть этого равенства не зависит от r , а правая от ϕ ,
то обе они равны постоянному числу, которое мы обозначим через - k 2 . Из
последнего равенства получаем два уравнения
                                   Φ // (ϕ ) +k 2Φ (ϕ ) =0 ;                          (8.4)
                              r 2 R // ( r ) +rR / (r ) −k 2 R(r ) =0 .               (8.5)
       Общее решение уравнения (8.4) имеет вид Φ =A cos kϕ +B sin kϕ .