Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 37 стр.

                                                  - 37 -
ее коэффициентами Фурье. Следовательно,                                   An    и        Bn   должны
определяться по формулам
                               π                                         π
                   1                                              1
              an = n ∫ f (t )cos ntst ;                      bn = n ∫ f (t )sin ntst .               (8.9)
                  π R −π                                         π R −π
      Итак, ряд (8.8) с коэффициентами (8.9) будет решением нашей
задачи, если он допускает конечное двукратное дифференцирование по r
и ϕ (это пока не доказано). Преобразуем формулу (8.8).
                                    π              π                                 n
                          1            1                          � r�
              u (r ,ϕ ) = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t )cos n (t −ϕ ) dt � �                     =
                         2π −π         π −π                        � R�
                       1
                               π
                                   �   ∞
                                             �      �  r�
                                                             n

                     = ∫ f (t ) � 1 +2∑ �
                                      cos n (t −ϕ� ) dt .�
                      2π −π      �    n =1 �      �    R�
     Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках
                ∞         n                                        n
                  � r�                            � ∞ r � � in(t −ϕ ) −in(t −ϕ� )
         1 +2∑ � �    cos n (t −ϕ ) =1 +2� ∑                � e             +e    � =
             n =1 � R �                            � n =1 R � �
                                                              r i(t −ϕ )        r −i (t −ϕ )
          ∞ �              n
                                              � n               e                 e
                  � r    � �   r     �
     =1 +∑ � � ei(t −ϕ� ) � + e−� i(t −ϕ ) � =1 + R                           + R                =
         n =1 � �   R  �   �   R   �                            r     (  −ϕ )     r  −   (  −ϕ )
                                            �              1− e     i  t
                                                                               1− e    i  t

                                                                R                 R
                                              2
                                  �     r�
                              1 −�        �
                                    �   R�                      R 2 −r 2
          =                                             = 2                       .
                r              � r�
                                                   2
                                                         R −2 Rr cos (t −ϕ ) +r 2
            1 −2 cos (t −ϕ ) +� �
                R               � R�
     Отсюда имеем
                                              π
                                1              R 2 −r 2
                    u (r ,ϕ ) = ∫ f (t ) 2                       dt .
                               2π −π    R −2 Rr cos (t −ϕ ) +r 2
      Полученное представление является двумерным аналогом формулы
Пуассона. Двукратное дифференцирование и гармоничность, а также
непрерывное удовлетворение краевым условиям доказывается так же, как
и в трехмерном случае.

     § 9. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

     Эта задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения
                  ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂2u
              ∆u = 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 =0 ,                                  R1