Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 39 стр.

                                                  - 39 -
              A −a                  a ln R2 −A0 ln R1                       An R1−n −an R2−n
          α0 = 0 0 ;            β0 = 0                ;            αn =                         ;
                 R
              2ln 2                          � R� 2                              n
                                                                       � R� 2 � � R1
                                                                                              n

                 R1
                                        2ln � �                         � � � −�
                                              � R�1                      � R�1 � � R2
            a R −n −a R −n                         B R −n −bn R2−n               bn R2−n −Bn R1−n
     βn = n 2 n n 1 n ; γn                   = n 1n                n
                                                                     ; δ  n =             n           n
                                                                                                        .
         � R� 2 � � R1     � �                � R2          R    �          �     � R2  �      R    �
          � � � �  −        � �                �          − 1�                � �           −� �1
           � R�1 � � R2      � �                 � R1       R2 �               � � R1 �        R2 �
     Подставляя эти коэффициенты в ряд (9.3), получаем искомое
представление в виде ряда.
     Вопрос о сходимости ряда, его почленной дифференцируемости
изучается отдельно методами исследования рядов Фурье и требует
наложения дополнительных условий на функции f , F .

         § 10. Теоремы о последовательностях гармонических функций

         Теорема 8. Пусть               D - область без выходов на бесконечность,
{un ( x)}n=1,2,...    - последовательность функций un ∈C D , гармонических в  ( )
D . Пусть            {un } сходится равномерно на             S =∂D . Тогда            {un } равномерно
сходится в D и предельная функция будет гармонической в D .
     Доказательство. В силу равномерной сходимости {un } на S ,
согласно
критерию Коши,                по любому            ε >0       найдется такое число                      N >0 ,
что
un1 −un2 <ε           ( x ∈S ) , если   n1 , n2 ≥N . На основании теоремы о максимуме
и минимуме последнее неравенство будет иметь место и внутри D . Тогда,
согласно принципу Коши, имеем, что в                                     D un ( x ) → u ( x) , причем
предельная функция               непрерывна в            D . Докажем гармоничность u ( x) в
D . Пусть            x ∈D и BR ( x) ⊂ D . Так как un ( x ) - гармонические функции
внутри D , то каждую из этих функций в BR ( x) можно представить с
помощью                                        интеграла                                           Пуассона
               1                  2
                                     R −ρ2
un ( x0 ) =          ∫
              4π R SR ( x )
                            un ( y )
                                       r3
                                          dS y , r = x0 −y ;              ρ = x0 −x .            В          силу

доказанной равномерной сходимости un ( x) в D в последнем равенстве
                                                  1                   R 2 −ρ2
можно перейти к пределу u ( x0 ) =
                                                 4π R S R∫
                                                              u ( y )      3
                                                                              dS y .
                                                         ( x)            r