Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 38 -
удовлетворяющее граничным условиям
(
)
(
)
(
)
(
)
12
,;,,02
uRfuRF
ϕϕϕϕϕπ
==≤<
,
где
(
)
f
ϕ
и
(
)
F
ϕ
- непрерывные функции переменной
[
(
)
(
)
0;2,(0)2;(0)2
ffFF
ϕπππ
∈==
.
Вначале ищем частные решения уравнения (9.1), имеющие вид
(
)
(
)
,()urRr
ϕϕ
=Φ
. (9.2)
Рассмотрим семейство решений вида
(
)
(
)
(,),
nnn
urRr
ϕϕ
=Φ
(
)
000
cossin,0,1,...ln;.
nn
т nnnnn
AnBnnRCDrRCrDr
ϕϕϕ
−
Φ=+==+=+
Ряд
()
00
1
,
т n
n
urRR
ϕ
∞
=
=Φ+Φ=
∑
()()
00
1
lncossin
nnnn
nnnnnn
n
DrCCrDrAnBnCrDrϕϕ
∞
−−
=

=+++++

∑
является решением уравнения (9.1). Обозначим:
0000
;;;;;.
nnnnnnnnnnnn
ACDABCBDDC
αβγδαβ
======
.
Из краевых условий получаем уравнения для определения
постоянных
00
,,,,,,1,2,...
nnnn
n
αβαβγδ
=
:
()
()()
{}
()
()()
{}
0101111
1
0202222
1
lncossin;
lncossin.
nnnn
nnnn
n
nnnn
nnnn
n
fRRRnRRn
FRRRnRRn
ϕαβαβϕγδϕ
ϕαβαβϕγδϕ
∞
−−
=
∞
−−
=
=+++++
=+++++
∑
∑
(9.3)
Условия, наложенные при формулировке задачи на функции
(
)
f
ϕ
и
(
)
F
ϕ
, позволяют утверждать , что эти функции разлагаются в ряд Фурье
по тригонометрическому базису на отрезке
[
;
ππ
−
() ()() ()
00
11
cossin;cossin
22
ϕϕϕϕϕϕ
∞∞
==
=++=++
∑∑
nnnn
nn
aA
fanbnFAnBn
, (9.4)
причем
() () ()
() () ()
0
0
111
;cos;sin;
111
;cos;sin.
nn
nn
afdafndbfnd
AFdAFndBFnd
πππ
πππ
πππ
πππ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
πππ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
πππ
−−−
−−−
====
====
∫∫∫
∫∫∫
Сравнивая ряды (9.3) и (9.4), можем записать (решая
соответствующую систему линейных уравнений ): 
                                      - 38 -
удовлетворяющее граничным условиям
            u ( R1 ,ϕ ) = f (ϕ ) ; u ( R2 ,ϕ ) =F (ϕ ) , 0 ≤ϕ <2π ,
где    f (ϕ )            и              F (ϕ )         -   непрерывные         функции            переменной
ϕ ∈[0;2π ] , f (0) = f (2π ) ; F (0) =F (2π ) .
      Вначале ищем частные решения уравнения (9.1), имеющие вид
                          u (r ,ϕ ) =R (r )Φ (ϕ ) .             (9.2)
Рассмотрим семейство решений вида un ( r ,ϕ) =Φ n (ϕ ) Rn (r ),
Φ т (ϕ ) =An cos nϕ +Bn sin nϕ, n =0,1,... R0 =C0 +D0 ln r; Rn =Cn r n +Dn r −n .
                             ∞
Ряд u (r ,ϕ ) =Φ0 R0 +∑ Φ т Rn =
                             n =1
                   ∞
=D0 ln r +C0 +∑ �� (Cn r n +Dn r −n ) An cos nϕ +Bn sin nϕ (Cn r n +Dn r −n )��
                  n =1

является решением уравнения (9.1). Обозначим:
      AnCn =α n ; Dn An =βn ; BnCn =γn ; Bn Dn =δn ; D0 =α 0 ; C0 =β0 . .
     Из краевых условий получаем уравнения                                             для       определения
постоянных α 0 , β0 , α n , βn , γn , δn , n =1,2,... :
                                    ∞

                                           {
  f (ϕ ) =α0 ln R1 +β0 +∑ (α n R1n +βn R1−n ) cos nϕ +(γn R1n +δn R1−n )sin nϕ ;
                                    n =1
                                                                                                      }
                                     ∞
                                                                                                            (9.3)
 F (ϕ ) =α0 ln R2 +β0 +∑ (α n R +βn R
                                    n =1
                                           {       n
                                                   2
                                                            −n
                                                            2    )cos nϕ +(γ R
                                                                           n
                                                                               n
                                                                               2   +δn R   −n
                                                                                           2    )sin nϕ}.
      Условия, наложенные при формулировке задачи на функции f (ϕ ) и
F (ϕ ) , позволяют утверждать, что эти функции разлагаются в ряд Фурье
по тригонометрическому базису на отрезке [−π ; π ]
           a0 ∞                                  A ∞
f (ϕ ) =     +∑ (an cos nϕ +bn sin nϕ ); F (ϕ ) = 0 +∑ ( An cos nϕ +Bn sin nϕ ) , (9.4)
           2 n=1                                 2 n =1
причем
            π                                  π                                   π
      1                  1                                                   1
  a0 = ∫ f (ϕ ) dϕ ; an = ∫ f (ϕ )cos nϕdϕ;                             bn == ∫ f (ϕ )sin nϕdϕ ;
      π −π               π −π                                                π −π
            π                                  π                                       π
       1                 1                                                    1
   A0 = ∫F (ϕ ) dϕ ; An = ∫F (ϕ )cos nϕdϕ;                               Bn == ∫F (ϕ )sin nϕdϕ .
       π −π              π −π                                                 π −π
     Сравнивая ряды (9.3) и (9.4), можем                                               записать        (решая
соответствующую систему линейных уравнений):

Страницы