Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 36 стр.

                                              - 36 -
         Решение уравнения (8.5) будем искать в виде R (r ) =r m . Подставляя
R =r m     в (8.5) , получим r 2 m( m −1) r m−2 +rmr m−1 −k 2 r m =0                    или
m 2 −k 2 =0 .
         Итак, имеются два частных линейно независимых решения r k и r −k .
Общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид R =Cr k +Dr −k .
Подставляя общие решения R и Φ в формулу (8.2), получаем функцию
                  uk (r ,ϕ ) =( Ak cos kϕ +Bk sin kϕ )(Ck r k +Dk r −k ) .              (8.6)
         Функция      uk (r ,ϕ ) будет решением уравнения (8.1) при любом
значении k , отличном от нуля. Если k =0 , то уравнения (8.4) и (8.5)
принимают вид Ф // =0 ; rR // (r ) +R / (r ) =0 , и, следовательно,
                              u0 =( A0 +B0ϕ )(C0 +D0 ln r ) .                           (8.7)
         Решение должно быть периодической функцией ϕ , так как при
одном и том же r для углов ϕ и ϕ +2π мы должны иметь одно и то же
значение решения, потому что рассматривается одна и та же точка круга.
Поэтому, очевидно, B0 =0 , а в (8.6): k ∈�. Мы можем ограничиться
только положительными значениями k =1,2,... , т.к. в силу произвольности
A, B, C , D отрицательные числа k новых частных решений не дают. Далее
мы ищем решение непрерывное и конечное в круге, в частности и при
r =0 , следовательно, D0 =0 . Аналогично в формуле (8.6): Dk =0 . Таким
образом, правая часть (8.7) есть A0C0 . Обозначим ее через a0 / 2 . Итак,
u0 =a0 / 2 .    Будем     искать        решение        нашей   задачи     в   виде   суммы
     ∞
u =∑ uk (r ,ϕ )     и подберем Ak , Bk , Ck так,           чтобы выполнялись краевые
    k =0

условия. Итак,
                                      a0 ∞
                        u (r ,ϕ ) =     +∑ (an cos nϕ +bn sin nϕ ) r n
                                      2 n=1
(постоянная Cn включена в an и bn ). Выберем теперь произвольные
постоянные an и bn так, чтобы удовлетворялось краевое условие. При
r =R имеем
                              a0 ∞
                   f (ϕ ) =     +∑ (an cos nϕ +bn sin nϕ ) R n .                        (8.8)
                              2 n =1
         Чтобы имело место равенство (8.8) нужно, чтобы функция f (ϕ )
разлагалась в ряд Фурье на интервале               (−π ,π ) и чтобы      an R n и bn R n были