Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 34 стр.

                                          - 34 -
         Опишем из начала координат сферу                     S R (0) . В шаре BR (0) в
соответствии         с   формулой        Пуассона       имеет       место    равенство
              1                  R 2 −ρ2
u ( x0 ) =
             4π R S R∫
                         u ( x )       3
                                         dS . Выберем R настолько большим, чтобы
                     (0)
                                     r
при      x ∈S R (0) имело место неравенство           u ( x) <ε    (т.к. гармоническая
u ( x)    равномерно       стремится      к    нулю       при         x → ∞).       Тогда
                  R 2 −ρ2         1           R 2 −ρ 2
u ( x) ≤ ∫ u ( x)         dS ≤ε          ∫             dS .       Отсюда        и      из
        S R (0)
                     r 3
                                4π  R S R (0)
                                                 r 3



представления (7.10) вытекает оценка               u ( x) <ε . В силу произвольности
ε >0 теорема доказана.

                    § 8. Решение задачи Дирихле для уравнения
                           Лапласа в круге на плоскости

         Пусть в плоскости Oxy имеется круг BR (0) и на S R (0) задана
функция         f (ϕ ) полярного угла ϕ . Поставим перед собой задачу
нахождения функции u (r ,ϕ ) , удовлетворяющей внутри круга уравнению
            ∂ 2u ∂ 2u
Лапласа ∆u = 2 + 2 =0 , непрерывной в                    BR (0) и принимающей на
            ∂x   ∂y
границе заданные значения u r =R = f (ϕ ) , где f (ϕ) − непрерывная, 2π −
периодическая функция переменной ϕ ∈[0; 2π ] .
         Лемма 5. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет вид
                                      ∂2u 1 ∂u 1 ∂2u
                          ∆u (r ,ϕ ) = 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 .
                                      ∂r  r ∂r r ∂ϕ
         Доказательство.      Из формул         x1 =r cos ϕ , x2 =r sin ϕ , ϕ ∈[0;2π )
следует
                   ∂u ∂u ∂x1 ∂u ∂x2 ∂u        ∂u
                     = ⋅    + ⋅    = ⋅ cos ϕ + ⋅ sin ϕ ;
                   ∂r ∂x1 ∂r ∂x2 ∂r ∂x1       ∂x2
                 ∂u ∂u ∂x1 ∂u ∂x2   ∂u          ∂u
                   = ⋅    + ⋅     =− ⋅ r sin ϕ + ⋅ r cos ϕ ;
                 ∂ϕ ∂x1 ∂ϕ ∂x2 ∂ϕ   ∂x1         ∂x2
         ∂ 2u ∂ � ∂u             ∂u         �  ∂ � ∂u�       � ∂ � ∂u
              = �       ⋅ cos ϕ + ⋅ sin ϕ
                                        �     = � � cos ϕ +� �         sin ϕ =
         ∂r 2
               ∂r � ∂x1          ∂x2      �    ∂r � ∂x� 1   � ∂r � ∂x2
              ∂ 2u       ∂ 2u                ∂ 2u               ∂ 2u 2
             = 2 cos ϕ +
                    2
                               sin ϕ cos ϕ +       cos ϕ sin ϕ + 2 sin ϕ =
              ∂x1       ∂x1∂x2              ∂x1∂x2              ∂x2