Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 40 стр.

                                                 - 40 -
        Отсюда следует, что                   u ( x) есть гармоническая внутри S R ( x)
функция. В силу произвольности выбора центра сферы x теорема
доказана.
     Теорема 9. Пусть {un } - гармоническая в ограниченной области D
последовательность функций,                      un+1 ( x) ≥un ( x) ,     x ∈D           и числовая
последовательность              un ( x0 ) , x0 ∈D фиксированная точка, сходится.
Тогда    {un ( x)}   сходится к некоторой гармонической функции                                    u ( x)
равномерно во всяком множестве D1 , где D1 - область и D1 ⊂ D .
        Доказательство. По условию теоремы в D :                            un+1 ( x ) ≥un ( x ) . В силу
сходимости, согласно критерию Коши, {un } в точке                                x =x0 при любом
заданном ε >0 существует такое N >0 ,                             что 0 ≤un +p ( x0 ) −un ( x0 ) ≤ε,

n >N , p >0 - целые. Опишем из точки                             x0 шар      BR ( x0 ) ⊂ D . Так как
un+p ( x) −un ( x) ≥0 , x ∈D ,                    то        по          неравенству           Гарнака
                            R( R +ρ)
0 ≤un+p ( x ) −un ( x ) ≤                  ε , где      x ∈BR ( x0 ), ρ = x −x0 . Возьмем шар
                            ( R −ρ )
                                      2



меньшего радиуса            BR −a ( x0 )    ( a >0 - достаточно мало). В шаре BR −a ( x0 )
справедлива оценка
                                           R ( R +ρ )
          0 ≤un+p ( x ) −un ( x ) ≤      ε , x ∈BR −a ( x0 ) , ( x <ρ ) .
                                  a2
        Отсюда вытекает равномерная сходимость последовательности
{un ( x)} внутри шара BR−a ( x0 ) ⊂ D . Взяв некоторую точку x1 ∈BR−a ( x0 ) ,
мы получим равномерную сходимость последовательности {un ( x )} внутри
шара BR−a ( x1 ) . Продолжая этот процесс, мы докажем равномерную
сходимость {un } во всяком замкнутом шаре, лежащем в D . По лемме
Гейне-Бореля всякую замкнутую область D1 ⊂ D мы можем покрыть
конечным числом шаров, лежащих в D , и это дает нам равномерную
сходимость последовательности                        {un ( x)}   в   D1 .        Из равномерной
сходимости       {un ( x)}    в силу предыдущей теоремы, предельная функция
u ( x) будет гармонической внутри D .