Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 42 -
При этом
1
R
ρ
<
и точка
(
)
(
)
11*
,,,,(0)
R
xxRSρθϕθϕ=→=∈ будет
изнутри шара
(0)
R
B стремиться к точке
(
)
*
R
xRS
θϕ
=∈
. В силу
результата, полученного для внутренней задачи Дирихле в шаре , имеем
()
()
()
2
22
/////
1
*
3
22
00
2
11
,sin
4
2cos
RR
fddfx
RR
ππ
ρ
θϕθθϕ
π
ργρ
−
→
−+
∫∫
,
когда
1*
xx
→
. Принимая во внимание, что
1
R
ρ
→
(при
1*
xx
→
), можем
утверждать , что и правая часть уравнения (47) стремится к
*
x
, что и
требовалось доказать .
§ 12. Примеры построения функций Грина методом отражения
Этот метод применяется для областей , которые могут быть
«расширены» так , что для новых областей функция Грина уже построена
ранее. Особенностью такого расширения является необходимость указания
правила, которым связаны значения функции Грина в «старых» и «новых»
точках областей .
Это могут быть симметрии различного вида, инверсии (как в случае
построения функции Грина для шара ), вращения и т.п .
Первым примером такого построения функции Грина является
применение инверсии для шара . Приведем дополнительные примеры .
1
0
. Построим функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа
в полупространстве
(
)
{
}
32
123
,,0
xxxx
+
=∈>
!! (см . рис. 7).
Пусть точка
(
)
123
,,
yyyy
=
лежит в
3
+
!
,
т.е.
3
0
y
>
. Точка
(
)
123
,,
yyyy
=−
называется симметричной с точкой
y
относительно плоскости
3
0
x
=
. Докажем,
что для исследуемой задачи функция
Грина имеет вид
()
11
,
4
4
Gxy
xy
xy
π
π
=−
−
−
.
Проверим выполнение трех свойств функции Грина. Если
3
x
+
∈
!
, то
функция
1
xy
−
гармонична по
x
при всех
xy
≠
и
3
y
+
∈
!
. Очевидно , что
3
x
Рис. 7
y
O
2
x
x
1
x
y
                                              - 42 -
       При этом ρ1 0} (см. рис. 7).                                       x3         Рис. 7


Пусть точка y =( y1 , y2 , y3 ) лежит в �3+,
                                                                                          y
т.е.  y3 >0 .        Точка     y =( y1 , y2 , −y3 )
называется симметричной с точкой                       y
                                                                             O                      x2
относительно плоскости x3 =0 . Докажем,
что для исследуемой задачи функция                                                                  x
Грина               имеет      вид                                x1
                1       1
G ( x, y ) =        −        .                                                            y
             4π x −y 4π x −y

       Проверим выполнение трех свойств функции Грина. Если x ∈�3+, то
               1
функция           гармонична по x при всех x ≠ y и y ∈�3+. Очевидно, что
             x −y

Страницы