Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 43 -
1
xy
−
гармонична при всех
3
x
+
∈
!
, так как
3
y
+
∉
. Так как при
3
0
x
=
()() ()()
3
11
22
22
2222
33
0
11
00(,)0
iiii
x
jj
xyxyyxyyGxy
=
==

−=−+−=−++==


∑∑
,
свойство 2 функции Грина выполнено . Третье свойство вытекает из явного
вида функции Грина и того факта, что
1
(,)
4||
gxy
xy
π
=−
−
гармоническая функция при всех
3
x
+
∈
!
.
2
0
. Построим функцию Грина для полушара
3
,0
xRx
<>
(см . рис.
8). Пусть точка
y
лежит в этом полушаре ,
*
y
- инверсия
y
относительно
(0),
R
Sy
-
точка симметричная
y
относительно
плоскости
3
0
x
=
, а точка
*
y
- ее инверсия
относительно сферы
R
S . Докажем, что
функция Грина задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в указанном полушаре
имеет вид
**
11
(,)
4
4
4
4
RR
Gxy
xy
yxy
xy
yxy
π
π
π
π
=−−+
−
−
−
−
.
Аналогично тому, как мы делали при построении функции
Грина в шаре , запишем теорему подобия: для треугольников
Oxy
и
*
Oxy
в
случае , если
3
(0)
R
xS
+
∈
I!
:
*
y
R
xy
xy
=
−
−
или
*
xy
R
yxy
−
=
−
; для пары
треугольников
Oxy
и
*
Oxy
(учтем, что
yy
=
:
*
y
R
xy
xy
=
−
−
или
*
xy
R
yxy
−
=
−
. Учитывая факты подобия, перепишем функцию
(,)
Gxy
в
виде
1111
(,)0
44
44
Gxy
xyxy
xyxy
ππ
ππ
=−−+=
−−
−−
,
3
x y
∗
y x
O
y
Рис. 8
y
∗
                                                          - 43 -
  1
         гармонична при всех x ∈                          3
                                                          +   , так как y ∉         3
                                                                                    +   . Так как при x3 =0
x −y
                                                  1                                                 1
        �   2                            �2       2       �    2                            �2      2

            ∑ (x       −yi ) +(0 −y3 )�                       ∑ (x       −yi ) +(0 + y3 )�
                            2                                                 2
x −y =�            i                                  =�             i                                  =G ( x, y ) x =0 =0
      �                                �                �                                 �
                                                                                                                            3
            j =1                                              j =1

,
свойство 2 функции Грина выполнено. Третье свойство вытекает из явного
                                                               1
вида функции Грина и того факта, что g ( x, y ) =                     −
                                                          4π | x −y |
гармоническая функция при всех x ∈�3+.
        20. Построим функцию Грина для полушара                                          x 0 (см. рис.
8). Пусть точка y лежит в этом полушаре,                                                           x3                           y∗

y * - инверсия y относительно S R (0), y -
точка    симметричная              y        относительно                                                y       x
плоскости x3 =0 , а точка y - ее инверсия
                                        *

                                                                                           O
относительно сферы S R (0) . Докажем, что                                                           y
функция Грина задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в указанном полушаре        Рис. 8                                                                            y∗
имеет вид
                        1        R            1         R
        G ( x, y ) =        −            −           +           .
                     4π x −y 4π y x −y *
                                           4π x − y 4π y x − y
                                                               *



        Аналогично тому,                как               мы             делали при построении функции
Грина в шаре, запишем теорему подобия: для треугольников Oxy и Oxy* в

                                                                                         R x −y
                                                                                                 *
                                                      yR
случае, если x ∈S R (0)  � :       3
                                    +              =        или                            =       ; для пары
                                              x −y   x −y *                              y   x −y
                                              *                                                y                    R
треугольников Ox y                и Ox y (учтем, что y = y :                                                =                   или
                                                                                           x −y
                                                                                                                        *
                                                                                                                x −y

R x −y
        *

  =       . Учитывая факты подобия, перепишем функцию G ( x, y ) в
y   x −y
виде
                               1       1       1       1
             G ( x, y ) =          −       −       +        =0 ,
                            4π x −y 4π x −y 4π x −y 4π x −y

Страницы