Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 44 -
то есть выполнено второе свойство функции Грина . Выполнение первого и
третьего свойств доказывается так же, как для шара или в первом примере .
3
0
. Функция Грина для
двугранного угла
231
0,0,xxx
>>∈
!
.
Чертеж (см . рис. 9) построим в сечении
1
0
x
=
. В любом сечении параллельном
этому сечению построения аналогичны .
Пусть точка
(
)
123
,,
=
лежит в
двугранном угле
23
0,0
yy
>>
и
/
y
-
точка, симметричная
y
относительно
плоскости
13
xOx
, точка
y
- симметрична точке
y
относительно плоскости
12
xOx
, а точка
*
y
симметрична точке
y
относительно плоскости
13
xOx
.
Докажем, что функция Грина имеет вид
//
1111
(,)
4
44
4
Gxy
xy
xyxy
xy
π
ππ
π
=−−+
−
−−
−
.
Выполнение свойств 1 и 3 очевидно .
Выполнение свойства 2 вытекает из того,
что если
x
принадлежит границе
∂Ω
области , причем той ее части , которая
лежит на плоскости
12
xOx
, то
/
/
xyxy
−=−
, а
xyxy
−=−
, поэтому
(см . рис. 10)
12
пл.
//
1111
(,)0
4
4
4
4
xxOx
Gxy
xy
xy
xy
xy
π
π
π
π
∈∂Ω
=−−+=
−
−
−
−
I
Если же
13
пл.
xxOx
∈∂Ω
I , то, как
видно из рис. 11 ,
/
/
;
xyxyxyxy
−=−−=−
,
поэтому
3
x
y
′
y
1
Ox
2
x
/
y y
Рис. 9
3
x
y
′
y
1
Ox
x
2
x
/
y y
Рис. 10
3
x
y
′
y
x
1
Ox
2
x
/
y y
Рис. 11 
                                  - 44 -
то есть выполнено второе свойство функции Грина. Выполнение первого и
третьего свойств доказывается так же, как для шара или в первом примере.
      30.   Функция      Грина      для                   x3
двугранного угла x2 >0, x3 >0, x1 ∈�.
                                                      y′                                           y
Чертеж (см. рис. 9) построим в сечении
x1 =0 . В любом сечении параллельном
этому сечению построения аналогичны.                                 Ox1                               x2
Пусть точка y =( y1 , y2 , y3 ) лежит в
двугранном угле              y2 >0, y3 >0 и y / -     y/                                           y
                                                                                 Рис. 9
точка, симметричная y относительно
плоскости x1Ox3 , точка y - симметрична точке y относительно плоскости
                         *
x1Ox2 , а точка y симметрична точке y относительно плоскости x1Ox3 .
Докажем, что функция Грина имеет вид
                          1       1        1           1
          G ( x, y ) =        −       −          +           .
                       4π x −y 4π x −y 4π x −y /
                                                   4π x −y /
     Выполнение свойств 1 и 3 очевидно.                                         x3
Выполнение свойства 2 вытекает из того,                         y′                                 y
что если    x принадлежит границе ∂Ω
области, причем той ее части, которая
                                                                       Ox1                x             x2
лежит    на    плоскости    x1Ox2 ,  то
     /
x −y = x −y / , а x −y = x −y , поэтому                     y/                                     y
                                                                                     Рис. 10
(см. рис. 10)
                                          1        1        1         1
         G ( x, y ) x∈∂Ω пл. x Ox =           −       −         +          =0
                             1   2
                                       4π x − y 4π x −y 4π x −y / 4π x −y /

                                                                           x3

      Если же x ∈∂Ω  пл. x1Ox3 , то, как                  y′                                  y
видно из рис. 11 ,                                                           x
                                                /
           x −y / = x − y ; x −y = x − y ,                           Ox1                           x2

поэтому
                                                       y/                                      y
                                                                                 Рис. 11

Страницы