Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 46 стр.

                                - 46 -
отличающуюся от введенной выше функции Грина задачи Дирихле для
уравнения Лапласа тем, что от гармонической функции ϕ ( x, x0 ) мы не
                                                        1
требуем выполнения краевого условия ϕ ( x, x0 ) x∈∂D =−     .
                                                    i  4π r
            Рассмотрим ограниченную область                                                     Di . Когда                x0 ∈Di   функция
L ( x, x0 ) гармоническая по x ∈Di . Вследствие чего из второй формулы
Грина следует
                                                                       �       ∂u   ∂L�
                                        ∫L∆udx = ∫��
                                        Di                       ∂Di
                                                                           L
                                                                               ∂n
                                                                                  −u � dS x ,
                                                                                    ∂n�
                                                                                                               x0 ∈Di ,              (13.3)


(u ∈C        2
                 ( Di )  C1 ( Di )) .              Когда x0 ∈Di ,                        эту формулу можно применить в

области                  Di \ Bε ( x0 ) , где                      ε >0 - достаточно мало для того, чтобы
шар Bε ( x0 ) целиком лежал в Di . При этом вместо соотношения (13.3)
получим равенство
                                                            ∂u                          ∂L            �       ∂u   ∂L�
                   ∫
             Di \ Bε ( x0 )
                              L∆udx −           ∫ L ∂n ds + ∫ u ∂n ds = ∫��
                                             Sε ( x0 )                     Sε ( x0 )            ∂Di
                                                                                                          L
                                                                                                              ∂n
                                                                                                                 −u � ds .
                                                                                                                   ∂n�

            При               ε → 0 интеграл                                ∫
                                                                       Di \ Bε ( x0 )
                                                                                        L∆udx стремится к несобственному

интегралу                 ∫L∆udx ,
                          Di
                                               если последний существует. Как мы неоднократно


                                                             ∂u                           1
оценивали                      ранее,               ∫ L ∂n ds ≤const ε ∫1ds =0 (ε ) → 0
                                                Sε ( x0 )
                                                                                                                          при       ε → 0,

поскольку производная непрерывна и ограничена, а L ( x, x0 ) растет на
                                1                                         d     d
Sε ( x0 ) как                      при ε → 0 . Ранее мы показывали, что      =−    при
                               ε                                          dn   dr
x ∈Sε ( x0 )                   (т.к. внешняя нормаль к части Sε ( x0 ) границы области
Di \ Bε ( x0 )                    направлена                               внутрь             Bε ( x0 )           и                поэтому
                       ∂L            uср .
lim
ε→ 0      ∫
       Sε ( x0 )
                   u
                       ∂n     ε → 0 4πε 2 ∫
                          ds =lim          1ds =lim uср. =u( x) ).
                                                ε→ 0


            Учитывая найденные значения пределов, окончательно получим
                      � ∂u      ∂L�
                 ∫     � L    −u � ds =∫L∆udx +u ( x0 ), ( x ∈Di ) .  (13.4)
                ∂Di �
                           ∂n   ∂n�    Di