Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 47 стр.

                                                               - 47 -
       Предположим,                            наконец,               что   точка        x0 ∈∂Di .             Пусть
Bε/ ( x0 ) =Di  Bε ( x0 ) , ωε/ =Sε ( x0 )  Di . Применим вторую формулу Грина
в области Di \ Bε/ ( x0 ) , где ε >0 - достаточно мало. Получим
                                 �      ∂u   ∂L�                        ∂u     ∂u
                 ∫
       ∂Di \ (∂Di  Bε ( x0 ))
                                 � L
                                 �      ∂n
                                           −u � ds = ∫ L∆udx − ∫L ds +∫u ds .
                                             ∂n�                        ∂n     ∂n
                                                    Di \ Bε/ ( x0 ) ωε/    ωε/

      При     ε→ 0     интеграл      в     левой части этого равенства
стремится к
 несобственному интегралу по ∂Di . За его значение примем предел правой
части, при вычислении которого мы можем применить все рассуждения
упомянутой леммы 2 за тем исключением, что вместо интеграла по Sε ( x0 )
будет фигурировать интеграл по ωε/ , так что                                   ∫1ds      равен площади той
                                                                               ωε/

части сферы Sε ( x0 ) , которая лежит в Di . Имеем как и ранее

                    ∂u                                      ∂u                 � 1         �
             lim ∫L ds =0;                           lim ∫u ds =u ( x0 ) lim �
                                                                         ε → 0 4πε 2 ∫
                                                                                         1ds � .
             ε→ 0 /
                 ωε
                    ∂n                               ε→ 0 /
                                                         ωε
                                                            ∂n                  ��   ωε/      ��
       Введем в точке x0 местную декартову систему координат ξ1ξ2ξ3 , так
что направление оси Oξ3 совпадает с внешней нормалью и ∂D1 (см. рис.
12). По предположению гладкости границы, уравнение границы внутри
достаточно малого шара      Bε ( x0 ) возможно представить в виде
                                                                             ∂f
ξ3 = f (ξ1 , ξ2 ) . Если граница класса C1 , то f и                              , n =1, 2 обращаются в
                                                                             ∂ξn
нуль     в       точке                    (ξ1 ,ξ2 ) =0 .      Вследствие      этого,      по         определению
дифференцируемой функции в малой окрестности точки x0 имеет место
соотношение
                                                       ξ3 =h1ξ1 +h2ξ2 ,                                         (13.5)
где величины h1 и h2 обращаются в
нуль     при                         ξ1 , ξ2 → 0 .    Введем                                         ωε′
сферические координаты                               ( r ,θ , ϕ ) ,
положив                                                                                       ε                ∂Di
ξ1 =r sin θ cos ϕ ; ξ2 =r sin θ sin ϕ;
ξ3 =r cos θ .        Подставив         эти                                       O =x0        θ′ θ         ξ1Oξ2
соотношения в (13.5), получим
                                                                                         ξ3          Рис. 12