Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 48 стр.

                                                                 - 48 -
                       cosθ =h1 sin θ cos ϕ +h2 sin θ sin ϕ ≡h ( r, θ, ϕ ) ,
где h - функция, ограниченная и обращающаяся в нуль одновременно с r ,
а   θ - угловая координата точки на Di . Воспользовавшись этим
соотношением, придем к следующему равенству
                       2π                 π
  1           1
    2 ∫                 ∫dϕ ∫ε
       ds =                           /       2
                                                  sin θ / dθ / =
4πε ω/      4πε 2       0                 0
          ε

         2π                                         2π                     2π

         ∫0 dϕ �� −cosθ �� 0 =2 + ∫0 cos θdϕ =2 +∫0 h (ε,θ, ϕ ) dϕ =2 +H (ε ) ,
     1                 / π    1               1                     1
=             /                             /                /    /

    4π
                  2π

                   ∫h (ε,θ,ϕ )dϕ
              1
где H (ε ) ≡                                  /          /
                                                             → 0 при ε → 0 . Вследствие этого
             4π    0


                                          ∂u           � 1         �               u ( x0 )
                       lim ∫u
                                                 ε → 0 4πε 2 ∫
                                             ds =lim �           1ds �    u ( x ) =         ,
                       ε→ 0
                                ωε/
                                          ∂n            ��   ωε/       ��             2
что приведет нас к соотношению
                                  � ∂u    ∂L�                 u ( x0 )
                             ∫� ∂n ∂n��
                            ∂Di �
                                  L    −u     ds = ∫
                                                  Di
                                                     L ∆udx +
                                                                 2
                                                                       .                                (13.6)

         Объединяя              формулы                      (13.3),   (13.4),   (13.6),   полученные     при
x0 ∈Di ; x0 ∈�3 \ D i ; x0 ∈∂Di , получим
                                        � 0 , если x0 ∈R3 \ D i ;
                                         �
                 � ∂u  ∂L�                 � 1
           ∫    � L −u � ds =∫L∆udx +� u ( x0 ) , если x0 ∈∂Di ;                                        (13.7)
          ∂Di �    ∂n  ∂n�     Di           � 2
                                             � u ( x0 ) , если x0 ∈Di .
                                              �
         Если u ( x) является гармонической в Di , то
                             � 0 , если x0 ∈R3 \ D i ;
                              �
              � ∂u   ∂L�        � 1
           ∫   � L −u � ds =�            u ( x0 ), если x0 ∈∂Di ; (13.8)
          ∂Di   � ∂n ∂n �        �    2
                                   � u ( x0 ) ,     если x0 ∈Di .
                                    �
     Соотношение (13.9) называют основной формулой теории
гармонических функций. Оно переносится и на области с выходом на
бесконечность.
Пусть De - область с выходами на бесконечность и с компактной
границей ∂De ,              а             De* =De  Br (0), r >0 - достаточно велико, так что
∂De ⊂ Br (0) .    Применим                          основную формулу теории                     гармонических