Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 49 стр.

                                                    - 49 -
функций (13.8) в области De* , придем к формуле, левая часть которой будет
отличаться от левой части основной формулы тем, что в ней добавляется
                  � ∂u ∂L�
интеграл ∫ � L −u � ds . При стремлении r → ∞ в силу теоремы 3 о
         Sr (0) �
                    ∂n ∂n�
                                                                                                    1
поведении гармонической функции при r → ∞, L и u убывает как                                          ,а
                                                                                                    r
∂u    ∂L              1                                           1
    и     - как 2 , т.е. все подынтегральное выражение, как 3 . Переходя
∂n     ∂n            r                                            r
к пределу при r → ∞, снова получим ту же основную формулу теории
гармонических функций, т.к. очевидно
                         � ∂u   ∂L�                   1
          lim ∫ � L           −u � ds ≤4π r 2 , const 3 → 0 , r → ∞.
          r→ 0
               S r (0) �
                           ∂n   ∂n�                  r

                 § 14. Представление решения задачи Дирихле
                 для уравнения Пуассона через функцию Грина

       Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона
                             ∆u = f ; x ∈Di ,                                                     (14.1)
                                              u =ψ ; x ∈∂Di .                                     (14.2)
       Предположим, что G (ξ , x ) - функция Грина задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в области Di . Напомним, что функция G (ξ , x )
представима в виде
                                1
             G (ξ , x ) =           +ϕ (ξ , x ) ,        ∆ξϕ =0,       ξ , x ∈Di ;                (14.3)
                               4π r
                                                       1
                                  ϕ (ξ , x ) ξ∈∂D =−       , x ∈Di .                              (14.4)
                                                 i    4π r
       Подставим               L (ξ , x ) =G (ξ , x ) в основную                формулу         теории
гармонических функций (13.8), получим
                       �   �      1 ∂u      ∂ � 1� �                   �             ∂u ∂ϕ (ξ , x� ) �
u ( x) =−∫ fGdx + ∫�       �         ⋅ −u �          � �            +� ϕ (ξ , x ) −u             � � ds =
         Di      ∂Di �         � 4π r ∂n =ψ ∂n � 4π r� �                 �           ∂n    ∂n      � �
                                          �                                        �
                                       �         � 1            � ∂u       ∂G�
                   =−∫ fGdx + ∫�              �          +  ϕ�       −ψ       � ds ,
                             ∂Di �                 4π
                                                �    r      � ∂n        ∂n�
                     Di
                                   �                                           �
                                     �              =0 на ∂Di                    �
       Итак,