Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 51 -
§ 15. Представление решения третьей краевой задачи
для уравнения Пуассона с помощью функции Грина
Рассмотрим задачу
,;
i
ufxD
∆=∈
(15.1)
,.
i
u
uxD
n
βψ
∂
∂
(15.2)
Воспользуемся тождеством
uLuL
LuuLLu
nnnn
ββ
∂∂∂∂

+−+≡−

∂∂∂∂

,
введем для кратности операторное обозначение
d
P
dn
β
=+
и преобразуем
формулу (13.8) к виду
(
)
(),
i
DD
uxLPuuPLdsLudxxD
∂
=−−∆∈
∫∫
. (15.3)
Пусть
() ()
1
,,
4
Gxx
r
ξϕξ
π
=+ , где 0,
ii
D
ξ
ϕξ
∆=∈
и
0
i
D
PG
ξ
∂
=
,
т.е.
(
)
,
Gx
ξ
- функция Грина третьей краевой задачи. Для этого функция
(
)
,
x
ϕξ
должна быть решением граничной задачи
11
0,,;,,
4
iii
xDPPDxD
r
ξξξ
ϕξϕξ
π
∆=∈=−∈∂∈
.
Подставим в (15.3) значения величин
uf
∆=
и
Pu
ψ
=
и, положив
LG
=
, получим интегральное представление решения рассматриваемой
задачи
()
ii
DD
uxGdsfGdx
ψ
∂
=−
∫∫
, если
i
xD
∈
. (15.4)
Перейдем к задаче Неймана
,;,
ii
du
ufxDxD
dn
ψ
∆=∈=∈∂
. (15.5)
Проведя те же рассуждения, что и для смешанной задачи, придем к
выводу, что решение задачи Неймана выражалось бы формулой (15.4),
если бы функция
(
)
,
x
ϕξ
была решением граничной задачи
11
0,,;,,
4
iii
xDDxD
nnr
ξ
ϕ
ϕξξ
π
∂∂

∆=∈=−⋅⋅∈∂∈

∂∂

. 
                                    - 51 -
             § 15. Представление решения третьей краевой задачи
             для уравнения Пуассона с помощью функции Грина

        Рассмотрим задачу
                                   ∆u = f ,   x ∈Di ;                              (15.1)
                            ∂u
                                +βu =ψ , x ∈∂Di .                                  (15.2)
                            ∂n
        Воспользуемся тождеством
                     � ∂u     � �     ∂L �        ∂u    ∂L
                  L�      +βu� −  � u   +� β L ≡L    −u    ,
                    � ∂n     � �      ∂n �        ∂n    ∂n
                                                                d
введем для кратности операторное обозначение P =                   +β и преобразуем
                                                                dn
формулу (13.8) к виду
                 u ( x ) = ∫( LPu −uPL ) ds −∫L∆udx ,         x ∈Di .              (15.3)
                        ∂D                     D

                          1
        Пусть G (ξ , x ) =   +ϕ (ξ , x ) , где ∆ξϕ =0 , ξi ∈Di и Pξ G ∂D =0 ,
                        4π r                                            i


т.е. G (ξ , x ) - функция Грина третьей краевой задачи. Для этого функция
ϕ (ξ , x )
должна быть решением граничной задачи
                                      1  1
        ∆ξϕ =0 , ξ , x ∈Di ; Pξϕ =− Pξ , ξ ∈∂Di , x ∈Di .
                                     4π r
     Подставим в (15.3) значения величин ∆u = f и Pu =ψ и, положив
L =G , получим интегральное представление решения рассматриваемой
задачи
                     u ( x) = ∫Gψ ds −∫ fGdx , если x ∈Di .                        (15.4)
                             ∂Di         Di

        Перейдем к задаче Неймана
                                      du
                      ∆u = f , x ∈Di ;   =ψ , x ∈∂Di .          (15.5)
                                      dn
      Проведя те же рассуждения, что и для смешанной задачи, придем к
выводу, что решение задачи Неймана выражалось бы формулой (15.4),
если бы функция ϕ (ξ , x ) была решением граничной задачи
                                   ∂ϕ    1 ∂ �          1�
        ∆ξϕ =0 , ξ , x ∈ Di ;         =− ⋅ ⋅ �             � , ξ ∈∂Di , x ∈ Di .
                                   ∂n   4π ∂n �          r�

Страницы