Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 53 стр.

                                 - 53 -
которого среднее значение решения на границе может быть сделано
любым.     Следовательно,     рассматриваемый интеграл  должен
рассматриваться как произвольная постоянная.
     Таким образом, найдя решение ϕ задачи
                            dϕ       1    1 d � 1�
     ∆ξϕ =0 , x, ξ ∈∂Di ;       =−      − ⋅      � � , x ∈Di , ξ ∈∂Di ;
                            dnξ   пл.∂Di 4π dnξ � r�
                                                        1
пл.∂Di = ∫1ds и определив по формуле G (ξ , x ) =           +ϕ (ξ , x ) функцию
          ∂Di
                                                       4π r
Грина этой задачи, можно по формуле
                     u ( x) = ∫Gψ ds −∫ fGdx                                (15.7)
                            ∂Di       Di

определить то из решений внутренней задачи Неймана, среднее значение
которого на поверхности ∂Di равно нулю. Все остальные решения задачи
Неймана могут быть получены прибавлением к этому решению
произвольной постоянной.
      В отношении распространения формулы (15.7) на внешние третью
краевую задачу и задачу Неймана, справедливы те же рассуждения, что и
для первой краевой задачи: на внешние задачи для уравнения Лапласа она
распространяется непосредственно, а для уравнения Пуассона - при
условии                           сходимости интеграла      ∫fGdx .
                                                            dl
                                                                      При этом

внешняя задача Неймана каких-либо особенностей по сравнению с
                                                        ∂u
внешней смешанной задачей не имеет, так как условие ∫ ds =0 не
                                                    ∂Dl
                                                        ∂n
распространяется на функции, гармонические в неограниченной области.

      Физический смысл функции Грина

     Функция Грина имеет простой физический                           D
смысл    потенциала,            создаваемого
точечными источниками. Поясним это на
примере поля точечного электрического заряда.
По закону Кулона в пустом пространстве                           ξ

потенциал u (ξ ) поля единичного точечного                                   x
заряда, расположенного в точке             x , равен                                n


                                                                          Рис. 13