Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 54 стр.

                                              - 54 -
 1      1
    =        . Предположим, однако, что этот заряд расположен в
4π r 4π x −ξ
полости внутри заземленного проводника (см. рис. 13). При этом на
границе полости будут индуцированы заряды, потенциал ϕ которых
таков, что их поле в области D′ =�3 \ D должно компенсировать поле
точечного заряда, так как потенциал заземленного проводника равен
нулю. Вследствие этого,     потенциал на границе полости должен
                                            1
удовлетворять граничному условию      ϕ =−      . Отсюда видно, что
                                           4π r
                                              1
потенциал полного поля в полости имеет вид        +ϕ и представляет
                                            4π r
функцию Грина задачи Дирихле, поставленной для образованной
полостью области.

                                  § 16. Теория потенциала

       Рассмотрим область D , пусть x, x0 ∈D , r = x −x0 , S =∂D .
       Определение. Выражения
                                               ρ( x )
                                   v ( x0 ) =∫        dx;                                  (16.1)
                                             D
                                                r
                                               ρ( x )
                                   u ( x0 ) =∫        ds;                                  (16.2)
                                             S
                                                r

                               w ( x0 ) =∫µ( x)
                                                       (
                                                  cos xx0 , n   ) ds,                      (16.3)
                                        S
                                                       r2
называются объемным потенциалом, потенциалом простого поля,
потенциалом двойного слоя, соответственно. Функция ρ называется
плотностью , а функция µ называется плотностью момента.
                    Физический смысл потенциалов
      Сосредоточенный в точке x ∈D заряд q создает в точке                                       x0
                                                                        r
энергетическое поле с напряженностью                            E =kq          (r =x −x0 ) .    Для
                                                                        r3
простоты далее будем считать k =1 . Легко видеть, что E =grad u ( x0 ) , где
u ( x0 ) =qr −1 +const .       Функция       u ( x)        называется        потенциалом       поля
точечного заряда              q . Обычно принято считать                       const =0 , чтобы
u ( x0 ) � � � →
               x0 → ∞
                     . 0При   наличии       нескольких          точечных       зарядов     их