Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа. Глушко А.В - 52 стр.

                                     - 52 -
      Но такой функции нет. В самом деле, положив в основной формуле
                                                                 1
теории гармонических функций (13.8): u =1, L (ξ , x ) =            , найдем, что
                                                              4π r
   1     ∂ � 1�                   ∂ � 1�       ∂ϕ (ξ )
  4π ∂∫
−           �   �   ds =1 , но −      �   �   =        , ξ ∈∂Di , следовательно,
      Di ∂n   � r �             4π ∂n   � r �   ∂ n
      ∂ϕ                                                        ∂ϕ
∫ ∂n ds =1,
∂Di
                   хотя,   согласно (3.2), интеграл        ∫ ∂n ds =0 .
                                                           ∂D
                                                                            Так     как

                                              ∂u
не существует решения задачи ∆u = f ; x ∈D ;     =ψ , x ∈∂D , то не
                                              ∂n
существует и функции L (ξ , x ) , имеющей нормальную производную,
равную нулю на границе ограниченной области. Тем не менее, может
                                   1
существовать функция L (ξ , x ) =      +ϕ (ξ , x ) , нормальная производная
                                  4π r
которой на границе области постоянна и которая в связи с этим может
играть роль, аналогичную роли функции Грина третьей краевой задачи для
уравнения Пуассона. Чтобы найти эту функцию, изменим граничное
                                                   ∂ϕ      1     1 d � 1�
условие в задаче для определения ϕ , положив          =−       − ⋅ � � ,
                                                   ∂n    пл.∂Di 4π dn � r�
                                                                       dϕ
ξ ∈∂Di , x ∈Di . Легко видеть, что соотношение                    ∫ dn ds =0
                                                                 ∂Di
                                                                               теперь

выполнено и, следовательно, функция ϕ может существовать. Определив с
                                            1 1
ее помощью функцию Грина G (ξ , x ) = ⋅ +ϕ (ξ , x ) , найдем, что
                                           4π r
 dG      1
    =−        , ξ ∈∂Di , x ∈Di . Подставив в формулу (13.8) (при x ∈Di )
dnξ   пл.∂Di
                                   du
значения L =G , ∆u = f и              =ψ , получим
                                   dn
                                   1
               u ( x) = ∫Gψ ds +
                                пл.∂Di ∂∫
                                           uds −∫ fGdx ,        x ∈Di .           (15.6)
                       ∂Di              Di      Di

                         1
                      пл.∂Di ∂∫
           Интеграл              uds в (15.6) представляет собой среднее значение
                              Di

неизвестной функции            u на границе ∂Di , которое, вообще говоря,
неизвестно. Однако, как мы знаем, решения внутренней задачи Неймана
определены лишь с точностью до постоянного слагаемого, подбором